Enunciado

Prove que a função seno hiperbólico é contínua e crescente em todo o seu domínio.

Passo 1

Para provarmos isso, temos uqe lembrar que:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

As funções exponenciais e x e e - x são continuas em todos os reais. Como o seno hiperbólico é a subtração dessas duas funções, ele também vai ser contínuo.

Passo 2

Para mostrarmos que ela é crescente basta analisarmos o sinal da derivada

senh ⁡ x ' = e x - e - x 2 ' = e x + e - x 2

Como e x e e - x são sempre positivo, vamos ter que essa soma também vai ser sempre positiva.

Então a derivada é sempre positiva mostrando que o seno hiperbólico é sempre crescente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Reescreva as expressões dos exercícios em termo das exponenciais e simplifique os resultados tanto quanto for possível.
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