Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 14
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes
14.
Passo 1
Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:
Primeiro vamos encontrar:
Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:
Passo 2
As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois a inclinação dessas retas é zero:
Reescrevendo:
Utilizando a relação trigonométrica:
Substituindo:
Aplicando a fórmula de Bhaskara (apenas o valor negativo do resultado foi considerado, pois o outro não corresponde a um ponto de reta tangente horizontal):
Agora podemos obter o valor de r:
E as coordenadas cartesianas para serão:
E para
Os pontos onde as retas horizontais tangenciam na curva serão
Passo 3
Para as retas verticais, precisamos igualar o denominador a zero, para que a inclinação tenda para infinito:
Reescrevendo:
Agora podemos calcular o valor de r:
As coordenadas cartesianas para serão:
E para
E apenas uma reta vertical será tangente em dois pontos diferentes: e :
Passo 4
O esboço do gráfico será:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)