1. Releia o Exemplo 5. Substitua m = tg theta na fórmula
  2. f(x, y)_{|y=m x} = 2m / (1 + m^2)

    E simplifique o resultado para mostrar como o valor de f varia de acordo com o ângulo de inclinação da reta

  3. Utilize a fórmula que você obteve no item (a) para mostrar que o limite de f quando (x, y) seta (0, 0) ao longo da reta y = mx varia de –1 a 1, dependendo do ângulo de aproximação.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora resolver!

  1. Vamos substituir e simplificar.
  2. f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2 → m = t g   θ

    f x , y ​ y = m x = 2 t g   θ 1 + t g   θ 2

    Das relações trigonométricas, sabemos que 1 + t g 2   θ = sec 2 ⁡ θ

    f x , y ​ y = m x = 2 t g   θ sec 2 ⁡ θ

    f x , y ​ y = m x = 2 s e n   θ cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

    f x , y ​ y = m x = 2 s e n   θ cos ⁡ θ

    f x , y ​ y = m x = s e n   2 θ

    Portanto, a função varia com a inclinação da reta, isto é, o ângulo θ .

    Passo 2

  3. A fórmula que descobrimos só depende do seno do ângulo θ , e, como no arco trigonométricos, as funções só variam de -1 a 1, então a função f(x,y) também só irá variar de -1 a 1.

Resposta

  1. f x , y ​ y = m x = s e n   2 θ .
  2. Demonstração.

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