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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 59

  1. Releia o Exemplo 5. Substitua m = tg θ na fórmula

    2. f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2

    E simplifique o resultado para mostrar como o valor de f varia de acordo com o ângulo de inclinação da reta

  2. Utilize a fórmula que você obteve no item (a) para mostrar que o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ao longo da reta y = mx varia de –1 a 1, dependendo do ângulo de aproximação.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora resolver!

  1. Vamos substituir e simplificar.

    2. f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2 → m = t g   θ

    f x , y ​ y = m x = 2 t g   θ 1 + t g   θ 2

    Das relações trigonométricas, sabemos que 1 + t g 2   θ = sec 2 ⁡ θ

    f x , y ​ y = m x = 2 t g   θ sec 2 ⁡ θ

    f x , y ​ y = m x = 2 s e n   θ cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

    f x , y ​ y = m x = 2 s e n   θ cos ⁡ θ

    f x , y ​ y = m x = s e n   2 θ

    Portanto, a função varia com a inclinação da reta, isto é, o ângulo θ .

    Passo 2

  2. A fórmula que descobrimos só depende do seno do ângulo θ , e, como no arco trigonométricos, as funções só variam de -1 a 1, então a função f(x,y) também só irá variar de -1 a 1.

Resposta

  1. f x , y ​ y = m x = s e n   2 θ .
  2. Demonstração.

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Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = cos ⁡ x 3 - y 3 x 2 + y 2
Sabendo que cos ⁡ 1 y ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ x cos ⁡ 1 y Justifique sua resposta.
Sabendo que sen ⁡ 1 x ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ y sen ⁡ 1 x Justifique sua resposta.
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = x 2 - y 2 x 2 + y 2