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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 14

Resolva a equação diferencial do Problema 13 sujeita a y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y L = 0 ,   y ' L = 0 . Nesse caso, a viga está engastada em ambos os extremos. Veja a figura 7.55.

Passo 1

Bora bora bora

Aqui temos uma aplicação física de equações diferenciais, onde queremos encontrar a deflexão y ( x ) de uma viga a partir de

E I d 4 y d x 4 = w 0 δ x - L 2

Em que y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' L = 0 e y ' ' ' L = 0

E bom, para resolver essa >equaçãozinha

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L y ( n ) t = s n . Y s - s n - 1 . y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - y n ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

E I d 4 y d x 4 = w 0 δ x - L 2

E I . s 4 . Y s - s 3 . y 0 - s 2 y ' 0 - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = w 0 . e - L 2 s

Sabemos que y 0 = 0   e   y ' 0 = 0 .

O y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) a gente deixa assim por enquanto, porque são constantes que não sabemos o valor, certo?

E I . s 4 . Y s - s 3 . 0 - s 2 0 - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = w 0 . e - L 2 s

E I . s 4 . Y s - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = w 0 . e - L 2 s

Y s . s 4 . E I - E I . s . y ' ' 0 - E I . y ' ' ' 0 = w 0 . e - L 2 s

Y s . s 4 . E I = w 0 . e - L 2 s + E I . s . y ' ' 0 + E I . y ' ' ' 0

Isolando Y ( s ) :

Y s = w 0 . e - L 2 s s 4 . E I + E I . s . y ' ' 0 s 4 . E I + E I . y ' ' ' 0 s 4 . E I

Y s = w 0 . e - L 2 s s 4 . E I + y ' ' 0 s ³ + y ' ' ' 0 s 4

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, vamo que vamo

Passo 3

Temos

Y s = w 0 E I . e - L 2 s 1 s 4 + y ' ' 0 1 s ³ + y ' ' ' 0 1 s 4

Na primeira fração, temos e - L 2 s multiplicando. Ele está representando a função degrau u atrasada em L 2 beleza? Então, todos os termos da primeira fração que tiverem x , vão ter um - L 2 subtraindo

Além disso, vamos manipular algebricamente as 3 frações para termos algo parecido com a transformada de x n , que é n ! s n + 1 :

Y s = w 0 E I . e - L 2 s . 1 3 ! 3 ! s 4 + y ' ' 0 . 1 2 ! 2 ! s ³ + y ' ' ' 0 . 1 3 ! 3 ! s 4

Y s = w 0 6 . E I . e - L 2 s . 3 ! s 4 + y ' ' 0 2 . 2 ! s ³ + y ' ' ' 0 6 . 3 ! s 4

Então temos:

y x = w 0 6 . E I . x - L 2 3 u x - L 2 + y ' ' 0 2 . x 2 + y ' ' ' 0 6 . x 3   ( I )

Belezinha, agora ainda falta só mais um pouco, juro juradinho!

Precisamos usar as informações de que y L = 0 ,   y ' L = 0 para encontrarmos as constantes y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) , vamos lá!

Passo 4

Temos

y x = w 0 6 . E I . x - L 2 3 u x - L 2 + y ' ' 0 2 . x 2 + y ' ' ' 0 6 . x ³

Vamos encontrar y ' ( x ) e y ' ' ( x )

Derivando uma vez:

y ' x = w 0 2 . E I . x - L 2 2 u x - L 2 + y ' ' 0 . x + 1 2 y ' ' ' 0 . x ²

Derivando de novo:

y ' ' x = w 0 E I x - L 2 u x - L 2 + y ' ' 0 + y ' ' ' 0 . x

Agora vamos aplicar y ' L e y ' ' ( L )

Passo 5

Temos y ' L = 0 :

y ' L = w 0 2 . E I . L - L 2 2 + y ' ' 0 . L + 1 2 y ' ' ' 0 . L ²

E y ' ' L = 0 :

y ' ' L = y ' ' x = w 0 E I L - L 2 + y ' ' 0 + y ' ' ' 0 . L = 0

Montando um sistema com as duas, encontramos:

y ' ' 0 = w 0 L 2 E I

y ' ' ' 0 = w 0 E I

Passo 6

Temos y ' ' 0 = w 0 L 2 E I

y ' ' ' 0 = - w 0 E I

E temos que y ( x ) é:

y x = w 0 6 . E I . x - L 2 3 u x - L 2 + y ' ' 0 2 . x 2 + y ' ' ' 0 6 . x ³

Substituindo y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) :

y x = w 0 6 . E I . x - L 2 3 u x - L 2 + w 0 L 4 E I . x 2 - w 0 6 E I . x ³

E fimmmmmm

Resposta

y x = w 0 6 . E I . x - L 2 3 u x - L 2 + w 0 L 4 E I . x 2 - w 0 6 E I . x ³

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Use (7) para obter (3)
Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' - 7 y ' + 6 y = e t + δ t - 2 + δ ( t - 4 ) ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' - 3 y = δ t - 2 ,y 0 = 0
Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' + 4 y ' + 5 y = δ t - 2 π ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' + 2 y ' + y = δ t - 1 ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0