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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 7

Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas

y ' ' + 2 y ' = δ t - 1 ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' ' + 2 y ' = δ t - 1 ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' ' + 2 y ' = δ t - 1

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + 2 ( s . Y s - y 0 ) = e - s

Sabemos que y 0 = 0 e y ' 0 = 1 :

s 2 . Y s - s . 0 - 1 + 2 s Y s = e - s

Y s . s 2 + 2 s = e - s + 1

Então:

Y s = e - s + 1 s 2 + 2 s

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = e - s + 1 s 2 + 2 s

Y s = e - s + 1 . 1 s . ( s + 2 )

Expandindo em frações parciais:

Y s = e - s + 1 . 1 2 . 1 s - 1 2 . 1 s + 2

Podemos escrever assim:

Y s = e - s . 1 2 . 1 s - 1 s + 2 + 1 2 . 1 s - 1 s + 2

O e - s está representando a função degrau u atrasada em   1, então tudo que tiver t na primeira fração vai ter um - 1 depois

Além disso, o 1 s é a transformada de 1 , de acordo com o que vimos lá no passo 1

E 1 s + 2 é a transformada de e - 2 t

Então temos:

y t = 1 2 1 - e - 2 t - 1 + 1 2 ( 1 - e - 2 t )

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = 1 2 1 - e - 2 t - 1 + 1 2 ( 1 - e - 2 t )

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Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' + y = δ t - 1 ,y 0 = 2
Resolva a equação diferencial do Problema 13 sujeita a y 0 = 0 ,y ' 0 = 0 ,y L = 0 ,y ' L = 0 . Nesse caso, a viga está engastada em ambos os extremos. Veja a figura 7.55.
Se δ ' ( t - t 0 ) é a derivada de função delta de Dirac, então sabemos que L δ ' t - t 0 = s . e - s t 0 , t 0 ≥ 0 . Use esse resultado para resolver y ' + 5 y = δ ' ( t ) sujeita a y 0 = 0
Use a transformada de Laplace e (7) para resolver y ' ' + 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t . δ ( t - 3 π ) Sujeita a y 0 = 1 e y ' 0 = - 1
Resolva o problema de valor inicial L d i d t + R i = δ t ,i 0 = 0 Em que L e R são constantes. A solução satisfaz a condição em t = 0 ?