Enunciado

Se δ ' ( t - t 0 ) é a derivada de função delta de Dirac, então sabemos que L δ ' t - t 0 = s . e - s t 0 , t 0 ≥ 0 . Use esse resultado para resolver y ' + 5 y = δ ' ( t ) sujeita a y 0 = 0

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' + 5 y = δ ' t ,   y 0 = 0

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ok?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' + 5 y = δ ' t

s . Y s - y 0 + 5 . Y s = s . e - s . 0

Sabemos que y 0 = 0 :

s . Y s - 0 + 5 . Y s = s

Y s . s + 5 = s

Y s = s s + 5

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = s s + 5

Podemos manipular escrevendo assim:

Y s = 1 - 5 s + 5

Então temos:

y t = δ t - 5 e - 5 t

E fimmmmmmm

Resposta

y t = δ t - 5 e - 5 t

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Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' + y = δ t - 2 π + δ t - 4 π ,y 0 = 1 ,y ' 0 = 0
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