Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.2 - Ex. 1
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Aqui temos uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem, ou seja, o lado direito da equação não é zero. Essas equações têm a seguinte forma:
A solução geral para uma equação desse tipo é dada por:
Onde é a solução da parte homogênea e a solução da parte particular.
Como você já deve ter percebido, vamos encontrar uma solução para a parte homogênea que é o lado esquerdo da nossa equação, e uma solução para a parte particular que é o lado direito e então somar as duas para obter a solução geral da nossa EDO.
Passo 2
Para a parte homogênea, temos a seguinte equação diferencial homogênea associada:
Aqui nós resolvemos normalmente. Vamos supor uma solução do tipo:
O processo para determinar o é sempre o mesmo: derivar uma, depois duas vezes e substituir na equação:
Substituindo na equação diferencial, temos:
Dividindo os dois lados por , teremos:
Essa é justamente a nossa equação característica. Ela que vai nos dizer se a solução da EDO será exponencial, polinomial ou oscilatória. Descobrimos isso com base nas raízes da equação.
Passo 3
Para resolver e encontrar as raízes eu irei fatorar a equação, mas se você quiser pode resolver por Bhaskara que também encontrará o mesmo resultado.
Fatorando, temos que:
Podemos dizer que as raízes são:
Como as raízes são reais e distintas, a solução da parte homogênea da EDO será da seguinte forma:
Onde e são constantes.
Passo 4
Para determinar a solução particular vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. A função da parte particular é dada por:
Já que ela é uma equação do segundo grau, uma possível solução para ela vai ser um polinômio do segundo grau:
Definida a solução tentativa, vamos derivar uma e duas vezes e depois substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes.
Derivando em relação a , temos:
Derivando novamente, temos que:
Passo 5
Agora vamos substituir na EDO.
Vamos organizar a equação de modo que possamos comparar os dois lados:
Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:
Temos também que:
E:
Passo 6
Portanto, a solução particular será:
Vamos juntar os resultados das soluções particular e homogênea:
Portanto:
Como não temos as condições iniciais não será possível substituir e encontrar as constantes e , portanto a nossa solução geral fica dessa forma mesmo.