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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.2 - Ex. 8

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - y = x e 2 x ,     y 0 = 0 ,     y ' 0 = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 - 1 = 0

Resolvendo, temos que:

r = ± 1

Podemos dizer que as raízes são:

r 1 = 1

r 2 = - 1

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 e x + c 2 e - x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = x e 2 x

Temos que:

y p = A x + B e 2 x

y p = A x e 2 x + B e 2 x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = 2 A x e 2 x + A + 2 B e 2 x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = 4 A x e 2 x + 4 A + 4 B e 2 x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' - y p = x e 2 x

4 A x e 2 x + 4 A + 4 B e 2 x - A x e 2 x + B e 2 x = x e 2 x

3 A x e 2 x + 4 A + 3 B e 2 x = x e 2 x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

3 A = 1

A = 1 3

4 A + 3 B = 0

3 B = - 4 3

B = - 4 9

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 3 x e 2 x - 4 9 e 2 x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 e x + c 2 e - x + 1 3 x e 2 x - 4 9 e 2 x

Passo 5

Como temos valores iniciais, podemos encontrar c 1 e c 2 .

Temos que:

y ' x = c 1 e x - c 2 e - x + 2 1 3 x - 4 9 e 2 x + 1 3 1 + 0 e 2 x

y ' x = c 1 e x - c 2 e - x + 2 1 3 x - 4 9 e 2 x + 1 3 e 2 x

Aplicando nos pontos, temos que:

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 + 1 3 0 e 0 - 4 9 e 0

y 0 = c 1 + c 2 - 4 9

Como y 0 = 0 , temos que:

c 1 + c 2 = 4 9

Temos também que:

y ' 0 = c 1 e 0 - c 2 e 0 + 2 1 3 0 - 4 9 e 0 + 1 3 e 0

y ' 0 = c 1 - c 2 - 8 9 + 1 3

y ' 0 = c 1 - c 2 - 5 9

Como y ' 0 = 1 , temos que:

c 1 - c 2 - 5 9 = 1

c 1 - c 2 = 14 9

Somando as equações, temos:

c 1 + c 2 + c 1 - c 2 = 4 9 + 14 9

2 c 1 = 18 9

c 1 = 1

c 2 = 4 9 - c 1

c 2 = 4 9 - 9 9

c 2 = - 5 9

Portanto, nossa solução será:

y x = e x - 5 9 e - x + 1 3 x e 2 x - 4 9 e 2 x

Resposta

y x = e x - 5 9 e - x + 1 3 x e 2 x - 4 9 e 2 x

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Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes. y ' ' + 3 y ' - 4 y = ( x 3 + x ) e x