Ache dy / dx

x = t * e^t

y = t + sen(t)

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.

Aqui a gente precisa derivar:

d y d x

Para isso, a gente precisa utilizar a regra da cadeia, já que a gente está com funções parametrizadas.

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. (o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x ⋅ d t d t  

d y d x = d y d t ⋅ d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Se queremos a primeira derivada de y , então usamos essa formulinha.

Passo 2

No nosso caso temos:

x = t   e t  

y = t + sin ⁡ t

Então

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t + sin ⁡ t     d d t t   e t  

Passo 3

Agora só no resta derivar

d y d x = d d t t + sin ⁡ t     d d t t   e t  

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

E por termos um produto de funções aqui, deveremos utilizar a regra do produto:

d ( u v ) d x = u v ' + u ' v

Show? Vamos cair dentro então:

d y d x = 1 + cos ⁡ t e t + t e t

Essa pode parecer uma técnica nova, mas te garanto que não precisa de nenhum novo conhecimento para resolver essas questões, conforme você for testando com mais funções, mais vai pegando o jeito.

Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução :)

Resposta

d y d x =   1 + cos ⁡ t e t + t e t  

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