Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 2

Ache d y d x

x = t   e t  

y = t + sin ⁡ t

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.

Aqui a gente precisa derivar:

d y d x

Para isso, a gente precisa utilizar a regra da cadeia, já que a gente está com funções parametrizadas.

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. (o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x ⋅ d t d t  

d y d x = d y d t ⋅ d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Se queremos a primeira derivada de y , então usamos essa formulinha.

Passo 2

No nosso caso temos:

x = t   e t  

y = t + sin ⁡ t

Então

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t + sin ⁡ t     d d t t   e t  

Passo 3

Agora só no resta derivar

d y d x = d d t t + sin ⁡ t     d d t t   e t  

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

E por termos um produto de funções aqui, deveremos utilizar a regra do produto:

d ( u v ) d x = u v ' + u ' v

Show? Vamos cair dentro então:

d y d x = 1 + cos ⁡ t e t + t e t

Essa pode parecer uma técnica nova, mas te garanto que não precisa de nenhum novo conhecimento para resolver essas questões, conforme você for testando com mais funções, mais vai pegando o jeito.

Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução :)

Resposta

d y d x =   1 + cos ⁡ t e t + t e t  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a fórmula no Exercício 69(b) para encontrar a curvatura da parábola y = x 2 no ponto ( 1,1 ) .Em que ponto essa parábola tem curvatura máxima?
Se f ' for contínua e f ' t ≠ 0 para a ≤ t ≤ b , mostre que a curva parametrizada x = f t , y = g t , a ≤ t ≤ b , pode ser colocada na forma y = F x .[ S u g e s t ã o : ã Mostre que f - 1 existe.]
Use a fórmula no Exercício 69(a) para calcular a curvatura da cicloide x = θ - s e nθ , y = 1 - cos ⁡ θ no topo de um dos arcos.
Mostre que a curvatura em cada ponto de uma reta é k = 0 .Mostre que a curvatura em cada ponto do círculo de raio r é k = 1 / r .
Mostre que a equação da reta tangente à parábola y 2 = 4 p x no ponto x 0 , y 0 pode ser escrita como y 0 y = 2 p ( x + x 0 ) Onde essa reta tangente intercepta o eixo x ? Use esse fato para desenhar