Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.2 - Ex. 9
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
E supor uma solução do tipo:
O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?
As derivadas:
Agora vamos substituir na equação diferencial:
Dividindo essa equação por temos:
Para resolver essa equação vou colocar em evidência:
Bom, aqui temos um produto e ele tem que ser igual à zero. Sendo assim, temos duas soluções, onde cada termo desse produto é zero. Daqui saem duas raízes:
Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo .
Agora vamos partir para a solução particular.
Passo 3
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução L.I vai ser uma função exponencial multiplicada por um polinômio de primeiro grau e tudo isso vezes um (assim deixamos a solução L.I):
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser (aqui vou usar a regra do produto!):
Resgatando a equação diferencial integral temos:
Substituindo e na equação vamos ter:
Dividindo todos os termos por e reorganizando:
Aqui devemos igualar os coeficientes! Vamos ficar com o seguinte sistema:
Da primeira linha temos que . E da segunda:
Assim a solução particular é:
Passo 4
Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e dos passos e temos . Vai lá ao passo e pega a solução geral:
Substituindo os resultados teremos:
Passo 5
Beleza! Agora é só aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e . As condições iniciais são:
A primeira é sobre a solução, então fazendo em temos:
A segunda condição é sobre a derivada. Então é:
E aplicando em temos:
E voltando para determinar :
Show! Finalmente temos a solução:
Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)
Beleza?
Vamos pra próxima?