Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.2 - Ex. 20
Resolva a equação diferencial usando
- Coeficientes indeterminados e
- Variação de parâmetros.
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos começar pelo método dos coeficientes indeterminados. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
E solução vai ser dada pela fórmula de Bháskara:
Aqui a solução vai ser uma combinação de exponenciais:
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução é um polinômio de ordem um:
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser:
Resgatando a equação diferencial integral temos:
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:
Daí tiramos os valores de e :
E a solução particular é:
E a solução geral vai ser:
Passo 3
Agora vamos resolver o mesmo sistema, mas pelo método da variação de parâmetros.
Esse método consiste no seguinte: determinado duas soluções para a equação diferencial homogênea associada e , supõe-se que a solução particular vá ser uma combinação linear com parâmetros variáveis, dessa forma:
No texto do livro é deduzido o sistema de equações que essa solução deve satisfazer, a saber, são as equações e e formam o seguinte sistema:
Onde é o coeficiente de e é a função que dá origem a solução particular. Resolvendo esse sistema de equações chegamos as seguintes equações para e :
E depois é só fazer a integração.
No nosso caso e E as derivadas são e . E e também .
Então podemos calcular o denominador:
Assim fica:
E integrando em relação a temos:
A primeira integral será resolvida por partes, e a segunda, por integração direta:
E já vou calcular aqui pois vai ser útil depois!
Passo 4
Pronto, agora vamos calcular e posteriormente .
Da fórmula para do passo anterior temos:
E integrando em relação a temos:
Assim temos:
E o valor de pois vai ser:
Pronto! Agora vamos juntar os resultados dos passos e e determinar a solução particular.
E a solução completa vai ser:
E é a mesma solução encontrada no passo !