Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 16
Utilize a transformação dada para calcular a integral.
Onde é o paralelogramo com vértices , , e ; ,
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo beleza?
A questão nos deu essa integral
Juntamente com as informações da região (um paralelogramo) para montarmos os limites de integração:
E quer que façamos a transformação dessa integral para
Belê? 😉
Passo 2
Para calcular essa integral vamos usar:
Primeiro vamos achar o Jacobiano, que é da seguinte forma:
Vamos, então, calcular cada elemento e fazer a substituição.
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E por ultimo é a derivada de em função de :
Pronto, agora é só substituir e calcular:
Fazendo o cálculo da diagonal:
Belê??
Passo 3
A transformação mapeia o limite de para o limite da imagem .
A reta com os pontos e é , que tem uma imagem:
A reta com os pontos e é , que tem uma imagem:
A reta com os pontos e é , que tem uma imagem:
A reta com os pontos e é , que tem uma imagem:
Agora temos e no plano .
Passo 4
Agora vamo substituir na integral:
Como sabemos quem é cada um:
Organizando melhor, teremos:
Integrando de dentro pra fora, ou seja, primeiro em relação a , e jogando a fração para fora das integrais, tratando-a como se fosse uma constante:
Substituindo os limites de Integración...
Resolvendo:
Agora integrando em relação a :
Colocando os limites nas variáveis:
Moleza! 😊