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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.2 - Ex. 23

Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.

23-

y ' ' + y = sec ⁡ x ,   0 < x < π / 2

Passo 1

Antes de começar o método de variação dos parâmetros vamos começar fazendo a solução da equação homogênea. E para isso vamos começar pela equação auxiliar:

r 2 + 1 = 0

r = ± i

Logo por ter raízes complexas temos:

y h = c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x

Passo 2

Agora aplicando o método da variação dos parâmetros temos a seguinte equação da solução particular:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Onde y 1 = s e n   x e y 2 = cos ⁡ x   e com isso teremos o seguinte sistema:

u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = 0

u 1 ' y 1 ' + u 2 ' y 2 ' = sec ⁡ x

Logo:

s e n   x   u 1 ' + cos ⁡ x   u 2 ' = 0

cos ⁡ x u 1 ' - s e n   x   u 2 ' = sec ⁡ x

Multiplicando a equação de cima por seno e a de baixo por cosseno nós teremos:

s e n 2 x   u 1 ' + s e n   x cos ⁡ x u 2 ' = 0

cos 2 ⁡ u 1 ' - s e n x cos ⁡ x u 2 ' = 1

Somando as duas temos:

u 1 ' = 1

Integrando teremos:

u 1 = x

Dessa forma se aplicarmos u 1 ' = 1 na primeira equação do sistema temos:

s e n   x + cos ⁡ x u 2 ' = 0

u 2 ' = - t g   x

Fazendo a integral temos:

u 2 = ln ⁡ cos ⁡ x

Dessa forma a equação da solução particular será:

y p = x   s e n   x + ln ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

Fazendo com que a equação da solução geral seja:

y = y p + y h = c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x + x   s e n   x + ln ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

y = c 1 + x s e n   x + ( c 2 + ln ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

Resposta

y = c 1 + x s e n   x + ( c 2 + ln ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

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