Resolva a equação diferencial.

2 \* (d^2y/dt^2) + 2 \* (dy/dt) - y = 0

Passo 1

Para resolver a equação diferencial de segunda ordem 2 d 2 y d t 2 + 2 d y d t - y = 0 , podemos procurar uma solução na forma de uma exponencial, já que os coeficientes são constantes:

y = e r t

Suas derivadas são:

d y d t = r e r t

d 2 y d t 2 = r 2 e r t

Que satisfazem a equação, desde que a gente saiba os valores de r .

Passo 2

Para encontrá-los, precisamos substituir cada termo que calculamos na equação diferencial:

2 d 2 y d t 2 + 2 d y d t - y = 0

2 r 2 e r t + 2 r e r t - e r t = 0

Dividimos então tudo por e r t :

2 r 2 + 2 r - 1 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, teremos as seguintes raízes:

r = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ - 1 2

r 1 = - 1 + 3 2

E

r 2 = - 1 - 3 2

Passo 3

Dessa forma temos as seguintes soluções: y 1 ( t ) = e - 1 + 3 2 t

y 2 ( t ) = e - 1 - 3 2 t

Podemos então escrever a solução geral:

y = c 1 e - 1 + 3 2 t + c 2 e - 1 - 3 2 t

.

Resposta

y = c 1 e - 1 + 3 2 t + c 2 e - 1 - 3 2 t

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