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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 11

Resolva a equação diferencial.

11. 2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (d y)/(d t) - y = 0

Passo 1

Para resolver a equação diferencial de segunda ordem (d^2 y)/(d t^2) + 2 (d y)/(d t) - y = 0 , podemos procurar uma solução na forma de uma exponencial, já que os coeficientes são constantes:

y = e^(r t)

Suas derivadas são:

(d y)/(d t) = r e^(r t)

(d^2 y)/(d t^2) = r^2 e^(r t)

Que satisfazem a equação, desde que a gente saiba os valores de r .

Passo 2

Para encontrá-los, precisamos substituir cada termo que calculamos na equação diferencial:

(d^2 y)/(d t^2) + 2 (d y)/(d t) - y = 0

r^2 e^(r t) + 2 r e^(r t) - e^(r t) = 0

Dividimos então tudo por e^(r t) :

r^2 + 2 r - 1 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, teremos as seguintes raízes:

r = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 xx 1 (- 1)))/(2)

r = - 1 + sqrt(2)

r = - 1 - sqrt(2)

Passo 3

Dessa forma temos as seguintes soluções: y_1 ( t ) = e^(- 1 + sqrt(2))

y_2 ( t ) = e^(- 1 - sqrt(2))

Podemos então escrever a solução geral:

y = c_1 e^((- 1 - sqrt(2)) t) + c_2 t e^((- 1 - sqrt(2)) t)

.

Resposta

y = c_1 e^((- 1 - sqrt(2)) t) + c_2 t e^((- 1 - sqrt(2)) t)

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