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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 13

Resolva a equação diferencial.

13. 3 (d^2 V)/(d t^2) + 4 (d V)/(d t) + 3 V = 0

Passo 1

Beleza, uma das soluções para a equação diferencial é a seguinte:

V = e^(r t)

E suas derivadas serão:

(d V)/(d t) = r e^(r t)

(d^2 V)/(d t^2) = r^2 e^(r t)

Desde que r tenha um valor que satisfaça a igualdade, precisamos encontrar esse valor de r .

Passo 2

Para isso, vamos substituir o que encontramos sobre a solução na equação diferencial:

3 r^2 e^(r t) + 4 r e^(r t) + 3 e^(r t) = 0

Dividimos agora tudo por 3 e^(r t) , para encontrarmos o polinômio característico:

r^2 + (4)/(3) r + 1 = 0

Agora podemos aplicar a formula de Bhaskara para acharmos as raízes do polinômio:

r = (- (4)/(3) +- sqrt((16)/(9) - 4))/(2) = (- (4)/(3) +- sqrt(- (20)/(9)))/(2) = - (2)/(3) +- sqrt(- (5)/(9))

r = (- 2 +- i sqrt(5))/(3)

Passo 3

Como podemos ver, as raízes são complexas ( r = alpha + i beta ) , por isso, a solução geral terá a seguinte cara, que é a combinação linear das duas soluções:

V = e^(alpha t) ( c_1 c o s beta t + c_2 s e n beta t )

Substituindo alpha = (- 2)/(3) e beta = (sqrt(5))/(3) :

V = e^((- 2)/(3) t) ( c_1 c o s (sqrt(5))/(3) t + c_2 s e n (sqrt(5))/(3) t )

E essa é a solução geral que estávamos procurando.

Resposta

V = e^((- 2)/(3) t) ( c_1 c o s (sqrt(5))/(3) t + c_2 s e n (sqrt(5))/(3) t )

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