Resolva a equação diferencial.

13.3 \* (d^2V/dt^2) + 4 \* (dV/dt) + 3V = 0

Passo 1

Beleza, uma das soluções para a equação diferencial é a seguinte:

V = e r t

E suas derivadas serão:

d V d t = r e r t

d 2 V d t 2 = r 2 e r t

Desde que r tenha um valor que satisfaça a igualdade, precisamos encontrar esse valor de r .

Passo 2

Para isso, vamos substituir o que encontramos sobre a solução na equação diferencial:

3 r 2 e r t + 4 r e r t + 3 e r t = 0

Dividimos agora tudo por 3 e r t , para encontrarmos o polinômio característico:

r 2 + 4 3 r + 1 = 0

Agora podemos aplicar a formula de Bhaskara para acharmos as raízes do polinômio:

r = - 4 3 ± 16 9 - 4 2 = - 4 3 ± - 20 9 2 = - 2 3 ± - 5 9

r = - 2 ± i 5 3

Passo 3

Como podemos ver, as raízes são complexas ( r = α + i β ) , por isso, a solução geral terá a seguinte cara, que é a combinação linear das duas soluções:

V = e α t ( c 1 c o s β t + c 2 s e n β t )

Substituindo α = - 2 3 e β = 5 3 :

V = e - 2 3 t ( c 1 c o s 5 3 t + c 2 s e n 5 3 t )

E essa é a solução geral que estávamos procurando.

Resposta

V = e - 2 3 t ( c 1 c o s 5 3 t + c 2 s e n 5 3 t )

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