Exercícios de EDO de 2ª ordem homogênea - Lista de Exercícios Resolvida

Considere a equação diferencial , com e funções reais.

Sabendo que e são soluções da equação, determine e .

Seja a equação diferencial Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(a) A função é a única solução de verificando e .

(b) O real é raiz simples da equação característica associada.

(c) A função é uma solução de verificando e .

(d) A função é solução de .

(e) Nenhuma das outras alternativas.

Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem

Seja contínua e considere a equação diferencial

i) Determine tal que a função seja solução da equação.

ii) Escreva a formula geral da equação achada no item (i).

iii) Ache a solução particular da equação do item (i) definida pelas condições iniciais

Considere a equação diferencial . Qual o valor de de modo a que a função seja solução da equação diferencial?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Uma EDO de segunda ordem, linear homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma

onde e são constantes arbitrárias, é:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes

1. Determine , e tais que as funções e sejam as soluções da equação
2. Encontre a solução geral da equação

Considere a equação diferencial

Defina , e mostre que satisfaz a equação

Resolva a equação acima e obtenha a solução geral de usando .

Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular . Encontre a solução geral em da equação diferencial

A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz o PVI

Obtenha a solução em função do parâmetro .

Marque a alternativa que indica a solução da equação .

( )

( )

( )

( )

( )

Nos exercícios a encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

Nos exercícios a encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

Encontre todas as soluções da EDO:

Encontre a solução da EDO:

Resolva os seguintes problemas de valor inicial

d)

Encontre todas as soluções da EDO:

Determine solução geral da equação

e calcule

Considere a equação diferencial .

1. Encontre a solução geral da equação diferencial.
2. Determine .
3. Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais , .

Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes:

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

Questão 2: Determine todos os valores de para os quais o seguinte problema da EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução diferente de .

Nos exercícios a encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

Verifique, justificando a sua resposta , se é solução para a equação diferencial .

Nos exercícios a encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

Verifique se é uma solução da EDL:

Nos exercícios a encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

Seja uma constante. Se é uma solução não nula da equação , então :

1. Não existe e tende a
2. Existe e vale
3. Não há dados suficientes para calcular
4. Não existe e tende a
5. Existe e vale

Questão 2 - Determine os coeficientes , , da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea, , cuja solução geral é dada por , , .

Sejam e duas soluções da equação

Suponha que e considere a função .

Então, podemos afirmar que, para todo , temos que

Escolha uma:

, para alguma constante .

, para alguma constante .

, para alguma constante.

, para alguma constante .

, para alguma constante .

Determine os valores da constante para que o problema de contorno

, tenha solução não nula.

Escolha uma:

Não é possível determinar os valores pedidos.

Considere a equação

Encontre o intervalo tal que se então a solução da equação é da forma

,

em que e são constantes arbitrárias e e são número reais distintos;

Escolha um valor para neste intervalo e resolva a equação.

Determine os valores de para que a função seja uma solução para a equação diferencial .

O maior valor numérico de obtido é:

Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

a)

Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

b)

Considere as seguintes equações diferenciais:

Sobre os pontos ordinários e singulares dessas equações, podemos afirmar:

Escolha uma opção:

a) O ponto é singular nas equações e

b) O ponto é singular na equação

c) O ponto é singular na equa��ão

d) O ponto é singular nas três equações

e) Todos os pontos das equações acima são ordinários

Resolva os problemas de valor inicial:

3.

Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes:

é solução de ;

Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes:

é solução de ;

Resolva as seguintes equações diferenciais:

Nos itens abaixo, faça o que se pede.

1. Estude a convergência das séries e , ;
2. Determine a solução geral da EDO ;
3. Resolva a EDO

Determine os valores de para os quais o problema de valor de contorno abaixo tem solução não-nula. Para esses tais valores de , exiba as soluções não nulas.

Verifique, justificando sua resposta, se é solução para a equação diferencial

Encontre a solução geral das equações:

A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz o PVI

Se observa-se que o período do movimento resultante é , ou seja , para todo , Determine os valores de .

Encontre a solução geral das equações:

Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI):

Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

Questão 4: Encontre todos os valores de , e todas as soluções associadas, para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno (para ):

Considere um sistema MMA onde a força externa é , a massa é m = 1, a constante da mola é k = 2 e constante de amortecimento é b = 2. Temos que a força da mola e do amortecedor é dada, respectivamente, por ky(t) e by0 (t), onde y(t) é a posição da massa em relação ao equilíbrio. A segunda Lei de Newton afirma que o produto da massa pela aceleração é igual ao somatório das forças.

a) Mostre que a posição da massa satisfaz uma EDO linear de segunda ordem.

b) Verifique que y1(t) = e −t cos(t) e y2(t) = e −t sen(t) são soluções fundamentais da equação homogênea.

c) Obtenha a solução geral da equação não homogênea. A posição da massa tende a zero quando t cresce?

d) Determine uma solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 0 e y’(0) = 1.

Considere um circuito RLC onde a força eletromotriz é , a resistência é , a indutância é e a capacitância é . Pela segunda Lei de Kirchoff, a carga no capacitor satisfaz

a) Determine a solução geral da homogênea.

b) Determine a solução geral da não homogênea.

c) A carga no circuito tende a zero quando cresce?

d) Determine a carga do capacitor se a carga inicial é e a corrente inicial é = 1.

Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:

(b)

Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:

(c)

Determine a solução de cada um dos seguintes PVI’s:

(a) e

Determine a solução de cada um dos seguintes PVI’s:

(b) e

Determine a solução de cada um dos seguintes PVI’s:

(c) e

Determine uma equação diferencial cuja solução seja .

Resolva o PVI

Determine o valor de para que a solução tenda a zero quanto .

Se a equação diferencial de ordem não tem o termo , pode-se fazer a mudança de variável e transformá-la em uma equação de ordem na variável .

Resolva:

Uma equação que tem a forma

Onde e são constantes reais, é denominada equação de Euler. Verifique que a substituição (defina ) transforma a equação dada na equação com coeficientes constantes

Desde que a equação em é de ordem linear com coeficientes constantes, podemos resolvê-la e determinar , consequentemente obtemos .

Para cada um dos casos (duas raízes reais e distintas, uma raiz real dupla e duas raízes complexas conjugadas) escreva a solução geral .

Resolva as seguintes equações de Euler:

a)

Uma equação que tem a forma

Onde e são constantes reais, é denominada equação de Euler. Verifique que a substituição (defina ) transforma a equação dada na equação com coeficientes constantes

Desde que a equação em é de ordem linear com coeficientes constantes, podemos resolvê-la e determinar , consequentemente obtemos .

Para cada um dos casos (duas raízes reais e distintas, uma raiz real dupla e duas raízes complexas conjugadas) escreva a solução geral .

Resolva as seguintes equações de Euler:

b)

Uma equação que tem a forma

Onde e são constantes reais, é denominada equação de Euler. Verifique que a substituição (defina ) transforma a equação dada na equação com coeficientes constantes

Desde que a equação em é de ordem linear com coeficientes constantes, podemos resolvê-la e determinar , consequentemente obtemos .

Para cada um dos casos (duas raízes reais e distintas, uma raiz real dupla e duas raízes complexas conjugadas) escreva a solução geral .

Resolva as seguintes equações de Euler:

c)

Utilizando o método de redução de ordem, determine uma segunda solução de cada uma das seguintes equações:

(a)

Resolva as seguintes equações de ordem maior que :

(a)

Considere a função , . Qual das seguintes equações é satisfeita pela função ?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Considere a solução do problema de valor inicial (PVI) , , . Encontre o limite de quando em cada um dos casos abaixo:

(a)

(b)

(c)

Resolva as seguintes equações diferenciais, integrando sucessivamente:

Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes:

é solução de

Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes:

é solução de

Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

Verifique, justificando a sua resposta, se é solução para a e quação diferencial .

Encontre a função , que é a solução da equação diferencial a seguir: , com e

( )

( )

( )

( )

( )

Sabe-se que tem como solução geral , onde . Então, quanto valem e ?

Considere um sistema MMA onde a força externa é F(t) = e −t , a massa é m = 1, a constante de amortecimento é b = 2 e a constante da mola é k = 1. Pela segunda Lei de Newton, a posição y(t) da massa em relação ao equilíbrio satisfaz

a) Determine a solução geral da homogênea.

b) Determine a solução geral da não homogênea.

c) A posição da massa tende a zero quando t cresce?

d) Determine a posição y(t) da massa se a posição inicial é y(0) = 1 e a velocidade inicial é y’(0) = 0.

Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:

Sabe-se que é a solução de . Quanto valem e ?

a) e