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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 9

Resolva a equação diferencial.

9. y^(' ') - 4 y^' + 13 y = 0

Passo 1

Como estamos buscando a solução para a equação dada, vamos usar uma solução do tipo:

y = e^(r x)

Que satisfaz a equação diferencial dada.

Mas para encontrar o valor de r , vamos precisar substituir o que encontramos na equação diferencial. Calculando as derivadas da função y teremos:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Passo 2

Substituindo as derivadas de y e y na equação:

r^2 e^(r x) - 4 r e^(r x) + 13 e^(r x) = 0

Dividimos tudo por e^(r x) para encontrarmos o polinômio característico:

r^2 - 4 r + 13 = 0

Pela equação de Bhaskara, r será:

r_1 = (- (- 8) + sqrt(16 - 4 ( 1 ) ( 13 )))/(2) = (8 + sqrt(- 36 ))/(2) = 4 + 3 i

r_2 = (- 4 - sqrt(- 36 ))/(2) = - 2 - 3 i

Como podemos ver, as soluções são raízes complexas ( r = alpha +- i beta ) .

Passo 3

Por isso, nossa solução geral então vai ter a seguinte cara:

y = e^(alpha x) ( c_1 c o s beta x + c_2 s e n beta x )

Como alpha = - 2 e beta = 3 , a solução geral será:

y = e^(- 2 x) ( c_1 c o s 3 x + c_2 s e n 3 x )

Resposta

y = e^(- 2 x) ( c_1 c o s 3 x + c_2 s e n 3 x )

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