Resolva a equação diferencial.

3.y'' + 2y = 0

Passo 1

Como a equação diferencial possui apenas constantes multiplicando os termos que envolvem y , uma solução para ela é a seguinte:

y = e r x

E as derivadas dessa solução são:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Precisamos encontrar o valor de r para que a gente possa escrever a solução geral.

Passo 2

Substituindo o que encontramos na equação diferencial do enunciado:

r 2 e r x + 2 e r x = 0

Dividindo tudo por e r x :

r 2 + 2 = 0

Que será o polinômio característico. As raízes dele serão:

r = - 2

r = ± i 2

Ou seja, raízes complexas ( r = α ± i β )

Passo 3

Por isso, a solução será do tipo:

y = e α x ( c 1 c o s β x + c 2 s e n β x )

Como nossos r só têm parte imaginaria, α é zero, e ficamos com:

y = c 1 c o s 2 x + c 2 s e n 2 x

E essa será a solução geral

Resposta

y = c 1 c o s 2 x + c 2 s e n 2 x

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