Resolva a equação diferencial.

3. y'' + 2y = 0

Passo 1

Como a equação diferencial possui apenas constantes multiplicando os termos que envolvem y , uma solução para ela é a seguinte:

y = e^(r x)

E as derivadas dessa solução são:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Precisamos encontrar o valor de r para que a gente possa escrever a solução geral.

Passo 2

Substituindo o que encontramos na equação diferencial do enunciado:

r^2 e^(r x) + 2 e^(r x) = 0

Dividindo tudo por e^(r x) :

r^2 + 2 = 0

Que será o polinômio característico. As raízes dele serão:

r = sqrt(- 2)

r = +- i sqrt(2)

Ou seja, raízes complexas ( r = alpha +- i beta )

Passo 3

Por isso, a solução será do tipo:

y = e^(alpha x) ( c_1 c o s beta x + c_2 s e n beta x )

Como nossos r só têm parte imaginaria, alpha é zero, e ficamos com:

y = c_1 c o s sqrt(2) x + c_2 s e n sqrt(2) x

E essa será a solução geral

Resposta

y = c_1 c o s sqrt(2) x + c_2 s e n sqrt(2) x

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