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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 28

Considere a equação a y ' ' + b y ' + c y = 0 , em que a ,   b   e   c são constantes com a > 0 . Encontre condições sobre a ,   b   e   c para que as raízes da equação característica sejam:

  1. Reais, diferentes e negativas;
  2. Reais com sinais opostos;
  3. Reais, diferentes e positivas.

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos resolver juntos!!

Passo 2

  1. Bom, como para esse item vamos querer cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , r 1 < 0   e   r 2 < 0 . Assim, haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

    2. y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

    y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

    Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

    a r 2 + b r + c ⋅ e r ⋅ t = 0

    a r 2 + b r + c = 0

    Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

    r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a

    Para que r 1 < 0 , precisamos que

    b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c - b < 0

    - b < - b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c

    b > b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c

    b 2 > b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c

    0 > - 4 ⋅ a ⋅ c

    c > 0

    O outro limite onde c pode valer é definido por

    b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c = 0

    b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c = 0

    c = b 2 4 ⋅ a

    Assim, para b > 0 , temos que 0 < c ≤ b 2 4 ⋅ a

    Passo 3

  2. Para esse nosso caso, queremos que as soluções tenham sinais opostos. Para isso, basta que

    3. b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c > b

    b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c > b 2

    4 ⋅ a ⋅ c < 0

    c < 0

    Já que a > 0 .

    Passo 4

  3. Esse caso é muito parecido com o primeiro, só que agora precisamos quea solução sejam ambas positivas. Assim, tudo que precisamos estabelecer é que

b < 0

Ficando com a solução da forma b < 0 ,     0 < c ≤ b 2 4 ⋅ a

Resposta

  1. b > 0 ,     0 < c ≤ b 2 4 ⋅ a
  2. c < 0
  3.   b < 0 ,     0 < c ≤ b 2 4 ⋅ a
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Resolva a equação diferencial. y ' ' - 4 y ' + y = 0
Resolva o problema de valor de contorno, se possível y ' ' = 4 y y 0 = 1 ,y 1 = 0
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