Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 5

Resolva as equações diferenciais

y^' + y = 1

Passo 1

Oii. Estamos na seção de equações lineares. Então temos que treinar mais outros métodos de resolução. Temos em mãos uma equação que além de ser linear é separável. Então poderíamos fazer

y^' = 1 - y

(d y)/(d x) = 1 - y

(1)/(1 - y) d y = d x

Prontinho, separamos. Para ficar mais fácil, podemos fazer uma substituição do lado esquerdo.

u = 1 - y

d u = - d y

Com isso nossa equação fica

- (1)/(u) d u = d x

E integramos

int - (1)/(u) d u = int d x

- ln u = x + c

u = e^(- (x + c))

E agora voltamos de u -> y

1 - y = e^(- (x + c))

y = 1 - e^(- (x + c))

Podemos ate fazer uma sagacidade. Como C é uma constante arbitraria, poderíamos fazer

y = 1 - e^(- x) * e^c

y = 1 - e^(- x) * C

y = 1 + C e^(- x)

Como C é arbítrio, não importa o valor dele, nem se ele está no argumento de uma exponencial, nem se é positivo ou negativo. Então podemos manipular para deixar a resposta mais limpa.

Passo 2

Mas como eu disse, temos que treinar outros métodos de resolução como temos aqui uma equação linear em mãos. Isso significa que temos uma equação com essa estrutura

y^' + A (x) y = B ( x )

Para resolver essa equação precisamos treinar um novo truque. O método do FATOR INTEGRANTE. Onde nossa solução tem o seguinte formato

y (x) = (1)/(I (x)) (int I (x) B (x) d x + C)

Esse I ( x ) é o nosso Fator integrante, que podemos definir como

I ( x ) = e^(int A ( x ) d x)

Beleza!!! Vamos seguir em frente

Passo 3

Vamos agora analisar nossa equação do exercício

y^' + y = 1

Podemos então dizer que nosso A e B são :

A (x) = 1

B (x) = 1

Passo 4

Vamos descobrir o Fator Integrante

I ( x ) = e^(int A ( x ) d x)

I ( x ) = e^(int 1 d x)

I (x) = e^x

Passo 5

Agora sim, podemos resolver nossa equação linear

y (x) = (1)/(I (x)) (int I (x) B (x) d x + C)

y (x) = (1)/(e^x) (int e^x d x + C)

Como a integral de e^x é o próprio e^x então podemos seguir mais rápido por ele

y (x) = (1)/(e^x) (e^x + C)

y (x) = C e^(- x) + 1

Viu que depois que a gente já está afiado com a teoria, aplicar a fórmula fica até mais rápido?

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y (x) = C e^(- x) + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.44. y . d x d y - x = 2 y 2 , no qual y 1 = 5 .
Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.35. d r d θ + r . sec ⁡ θ = cos ⁡ θ
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.45. y ' + tan ⁡ x y = c o s 2 x , no qual y 0 = - 1 .
Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.39. y ' = 10 - y cosh ⁡ x
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.46. d Q d x = 5 x 4 Q , no qual Q 0 = - 7 .