Resolva as equações diferenciais

y' + y = 1

Passo 1

Oii. Estamos na seção de equações lineares. Então temos que treinar mais outros métodos de resolução. Temos em mãos uma equação que além de ser linear é separável. Então poderíamos fazer

y ' = 1 - y

d y d x = 1 - y

1 1 - y d y = d x

Prontinho, separamos. Para ficar mais fácil, podemos fazer uma substituição do lado esquerdo.

u = 1 - y  

d u = - d y

Com isso nossa equação fica

- 1 u d u = d x

E integramos

∫ - 1 u d u =   ∫ d x

- ln ⁡ u   = x + c

u = e - x + c

E agora voltamos de   u → y

1 - y = e - x + c  

y = 1 - e - x + c  

Podemos ate fazer uma sagacidade. Como C é uma constante arbitraria, poderíamos fazer

y = 1 - e - x ⋅ e c  

y = 1 - e - x ⋅ C  

y = 1 + C e - x

Como C é arbítrio, não importa o valor dele, nem se ele está no argumento de uma exponencial, nem se é positivo ou negativo. Então podemos manipular para deixar a resposta mais limpa.

Passo 2

Mas como eu disse, temos que treinar outros métodos de resolução como temos aqui uma equação linear em mãos. Isso significa que temos uma equação com essa estrutura

y ' + A x y = B ( x )

Para resolver essa equação precisamos treinar um novo truque. O método do FATOR INTEGRANTE. Onde nossa solução tem o seguinte formato

y x = 1 I x   ∫ I x B x   d x + C  

Esse I ( x ) é o nosso Fator integrante, que podemos definir como

I ( x ) = e ∫ A ( x ) d x

Beleza!!! Vamos seguir em frente

Passo 3

Vamos agora analisar nossa equação do exercício

y ' + y = 1

Podemos então dizer que nosso A e B são :

A x = 1

B x = 1

Passo 4

Vamos descobrir o Fator Integrante

I ( x ) = e ∫ A ( x ) d x

I ( x ) = e ∫ 1 d x

I x = e x

Passo 5

Agora sim, podemos resolver nossa equação linear

y x = 1 I x   ∫ I x B x   d x + C  

y x = 1 e x   ∫ e x d x + C  

Como a integral de e x é o próprio e x então podemos seguir mais rápido por ele

y   x =   1 e x e x + C

y x = C e - x + 1

Viu que depois que a gente já está afiado com a teoria, aplicar a fórmula fica até mais rápido?

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y x = C e - x + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados