Resolva as equações diferenciais

y' = x - y

Passo 1

Temos aqui uma equação linear em mãos. Isso significa que temos uma equação com essa estrutura

y ' + A x y = B ( x )

Para resolver essa equação precisamos treinar um novo truque. O FATOR INTEGRANTE. Eu vou mostrar de onde ele surge, mas depois que pegarmos o jeito podemos só usar a formulinha já pronta para resolver nosso problema.

Quando temos uma função comum, por exemplo :

y = f x

Se quisermos derivar ela, podemos fazer

d d x   y = d d x   f x

y ' = f ' ( x )

E claro, voltar para nossa função original seria bem fácil. Podemos integrar fazendo Separação de Variaveis

d y d x = f ' x

d y = f ' x d x

∫ d y =   ∫ f ' x d x

y = f x + c

E agora se tivermos uma função desse jeito

y ' + A x y = B ( x )

Fica impossível separar as variáveis. Temos que usar uma nova técnica, a do FATOR INTEGRANTE. Podemos imaginar que lá no início na nossa primitiva temos uma função aleatória I x que multiplica nosso y . Pensar isso vai salvar a pátria. Saca só

I ( x )   y ( x ) = I ( x )   F ( x )  

Então podemos derivar e teremos

I ( x )   y ( x ) ' = I ( x )   F ( x )   '

I x y x ' = I ' x F x + I x F ' x

Podemos imaginar que essa função I ( x ) seja da família das exponenciais, logo sua derivada seria ela mesma, multiplicada por alguma outra função.

I ' x = I x A ( x )

Então ficamos com

I x y x ' = I x A ( x ) F x + I x F ' x

I x y x ' = I x A x F x + F ' x

O legal dessa técnica é que o termo em colchetes é tudo o que fica do lado direito da nossa equação linear

y ' + A x y = B ( x )

Então esse B x é nosso termo entre colchetes

B x = A x F x + F ' x  

I x y x ' = I x B x

Agora se integrarmos de ambos os lados teremos

∫ I x y x ' d x =   ∫ I x B x     d x

I x y x =   ∫ I x B x   d x + C  

y x = 1 I x   ∫ I x B x   d x + C  

Estamos quase acabando. Esse I ( x ) é só uma bengala na nossa solução. Temos que nos livrar dele. Por suposição fizemos

I ' x = I x A ( x )

Com isso podemos conseguir achar nosso fator integrante em função da nossa função genérica

d d x   I x =   I x A ( x )

1 I x   d I x = A x d x

ln ( ⁡ I ( x ) ) = ∫ A ( x ) d x

I ( x ) = e ∫ A ( x ) d x

Essa integral teria que ter uma constante arbitraria. Mas como já vamos colocar uma constante lã no final da integral. Podemos arbitrar que a de agora seja nula. Beleza? Podemos prosseguir então. Conseguimos fazer que nossa equação Diferencial Linear tivesse a seguinte solução

y x = 1 I x   ∫ I x B x   d x + C  

Sendo nosso fator integrante

I ( x ) = e ∫ A ( x ) d x

Vamos agora analisar nossa equação do exercício

Passo 2

Temos

y ' = x - y

y ' + y = x

Sabemos então que nossa solução será

y x = 1 I x   ∫ I x B x   d x + C  

Onde nosso

A x = 1

B x = x

Passo 3

Vamos descobrir o Fator Integrante

I ( x ) = e ∫ A x   d x

I ( x ) = e ∫ 1 d x

I x = e x

Passo 4

Agora sim, podemos resolver nossa equação linear

y x = 1 e x   ∫ e x x   d x + C  

Vamos aqui precisar de mais uma etapa, porque essa integral só sai por integração por partes. Então se temos u t     e v ( t ) e derivarmos teremos :

d d t u v = u ' v + u v '

E se em seguida, integrarmos ambos os lados e teremos de volta uv

∫ d d t u v d t =   ∫ u ' v + u v ' d t

u v = ∫ u ' v d t + ∫ u v ' d t  

∫ u ' v d t = u v - ∫ u v ' d t  

Faremos então u ' = e x e v =   x

∫ e x x   d x = e x x - ∫ e x   d x

=   e x x - e x  

Vamos voltar agora para nossa equação solução

y x = 1 e x   e x x - e x   + C

y x = x - 1 + C e - x  

Viu que depois que a gente já está afiado com a teoria, aplicar a formula fica até mais rápido? Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y x = x - 1 + C e - x  

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