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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 7

Resolva as equações diferenciais

(d theta)/(d t) = (t sec theta)/(theta e^(t^2))

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

(d theta)/(d t) = (t sec theta)/(theta e^(t^2))

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for x vai para um lado, tudo que for y vai para o outro.

(d theta)/(d t) = (t sec theta)/(theta e^(t^2))

((theta)/(sec theta)) d theta = (t)/(e^(t^2)) d t

theta cos theta d theta = t e^(t^2) d t

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

int theta cos theta d theta = int t e^(t^2) d t

Do lado direito podemos fazer o seguinte truque. Pensar em qual é a derivada da exponencial e ajustar a integral multiplicando por constantes depois.

(d)/(d t) e^(t^2) = 2 t e^(t^2)

Logo para obtermos

t e^(t^2)

Precisamos apenas multiplicar por ½ . Então ficamos com :

int theta cos theta d theta = (e^(t^2))/(2)

Para o lado esquerdo vamos precisar usar um outro truque. Vamos ter que recorrer a Integração por partes. Então se temos u (t) e v ( t ) e derivarmos teremos :

(d)/(d t) u v = u^' v + u v^'

Em seguida, podemos integrar ambos os lados e teremos de volta uv

int (d)/(d t) u v d t = int u^' v + u v^' d t

u v = int u ' v d t + int u v ' d t

int u ' v d t = u v - int u v ' d t

Faremos então u ' = cos theta e v = theta

int theta cos theta d theta = theta sin theta - int s i n theta d theta

int theta cos theta d theta = theta sin theta - (- cos theta)

int theta cos theta d theta = theta sin theta + cos theta

UFAA!! Admito que essa deu mais trabalho, mas conseguimos. Vamos unir ambas as partes

theta sin theta + cos theta = (e^(t^2))/(2) + C

2 (theta sin theta + cos theta) + C = e^(t^2)

Vamos aplicar logaritmos agora em ambos os lados

t^2 = ln [ 2 (theta sin theta + cos theta) + C ]

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se multiplicarmos por qualquer valor, não fará a menor diferença. Então não é costume alterar essas constantes. Beleza!

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t^2 = ln [ 2 (theta sin theta + cos theta) + C ]

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