Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.1 - Ex. 26
Resolva o problema de contorno, se possível.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:
O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)
Vamos lá?
Passo 2
Começamos então supondo uma solução do tipo:
As derivadas primeira e segunda são:
Agora vamos substituir na equação diferencial:
Dividindo essa equação por temos:
Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.
Passo 3
Para resolver essa equação vou colocar em evidência:
Bom, aqui temos um produto e ele tem que ser igual à zero. Sendo assim, temos duas soluções, onde cada termo desse produto é zero. Daqui saem duas raízes:
Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo .
Como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.
Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?
Passo 4
As duas condições de contorno são:
A primeira condição de contorno nos diz que . Aplicando na solução do passo temos:
Sendo assim temos:
Dalí tiramos o valor de :
A segunda condição de contorno é em outro ponto da solução. Então temos:
Substituindo temos uma expressão apenas com :
Mas sabemos que , então substituindo o valor de ficamos com uma expressão apenas para :
Agora temos como determinar por completo a solução:
E é essa a solução!
Vamos pra próxima?