Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

E supor uma solução do tipo:

O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

Agora vamos substituir na equação diferencial:

Dividindo essa equação por temos:

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

Aqui temos duas raízes reais e iguais, então a solução vai ser:

Agora vamos determinar a solução particular?

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de primeiro grau, multiplicado por (para termos uma solução L.I) vezes uma exponencial:

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

Resgatando a equação diferencial integral temos:

E substituindo e na equação diferencial temos:

Dividindo por e reorganizando os termos:

Simplificando temos:

Assim temos que e

E a solução particular vai ser:

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vai lá ao passo e pega a solução geral:

Substituindo os resultados teremos:

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?