Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.1 - Ex. 8
Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.
Passo 2
Com isso, vamos supor uma solução do tipo:
O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?
As derivadas:
Agora vamos substituir na equação diferencial:
Dividindo essa equação por temos:
Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.
Passo 3
Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:
Agora simplificando ao máximo temos:
Aqui encontramos duas raízes reais e distintas (embora feias). Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo . Mas e o ? Bom, como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.
Em um problema de valor inicial (PVI) são dadas condições iniciais (olha que nome original kkk) e daí esses coeficientes e podem ser determinados.
Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)
Beleza?
Vamos pra próxima?