Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.1 - Ex. 19
Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.
Passo 2
Com isso, vamos supor uma solução do tipo:
O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?
As derivadas:
Agora vamos substituir na equação diferencial:
Dividindo essa equação por temos:
Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.
Passo 3
Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:
Agora simplificando ao máximo temos:
Aqui encontramos duas raízes reais e iguais e a solução vai ser:
Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?
Passo 4
As duas condições de contorno são:
A primeira condição de contorno nos diz que . Aplicando na solução do passo temos:
Sendo assim temos:
A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos (lembrem da regra do produto!):
A condição de contorno nos diz que , então fazendo temos:
E simplificando temos:
Mas sabemos que , então ficamos com uma expressão apenas para :
Agora temos como determinar por completo a solução:
Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)
Beleza?
Vamos pra próxima?