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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 31

Sabendo que y 1 = x - 1 2 e y 2 = x - 1 2 s e n   x formam um conjunto fundamental de soluções para x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = 0 em 0 ,   ∞ , encontre a solução geral para:

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = x 3 2

Passo 1

Então galera, aqui o que o enunciado faz é facilitar nossa vida, pois não precisamos calcular as raízes da equação características. Tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada e as funções y 1 e y 2 , temos que:

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = x 3 2

y ' ' + 1 x y ' + 1 - 1 4 x 2 y = x - 1 2

f x = x - 1 2

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = x - 1 2 x - 1 2 . s e n   x - 1 2 x - 3 2 - 1 2 x - 3 2 . s e n   x + x - 1 2 . cos ⁡ x = - cos ⁡ x x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 x - 1 2 . s e n   x x - 1 2 - 1 2 x - 3 2 . s e n   x + x - 1 2 . cos ⁡ x = 1 x . s e n   x

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = x - 1 2 0 - 1 2 x - 1 2 = 1 x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - cos ⁡ x

u 2 ' = W 2 W = s e n   x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 2

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - cos ⁡ x d x = - s e n   x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ s e n   x d x = - cos ⁡ x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - s e n   x . Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - s e n   x . x - 1 2 - cos ⁡ x . x - 1 2 s e n   x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x - 1 2 s e n   x ± s e n   x . x - 1 2 - cos ⁡ x . x - 1 2 s e n   x

E esta é a nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

y = c 1 x - 1 2 + c 2 x - 1 2 s e n   x ± s e n   x . x - 1 2 - cos ⁡ x . x - 1 2 s e n   x

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