9. Sabe-se que y = c 1 e x cos ⁡ x + c 2 e x s e nx é uma família a dois parâmetros de soluções para y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0 no intervalo - ∞ ,∞ . Encontre, se existir, um membro dessa família que satisfaça as condições:a) y 0 = 1 , y ' 0 = 0 b) y 0 = 1 ,y π = - 1 c) y 0 = 1 ,y π 2 = 1 d) y 0 = 0 ,y π = 0 .

a) y = e x cos ⁡ x - e x s e nx b) Não há solução.c) y = e x cos ⁡ x + 1 e π 2 e x s e nx d) y = c 2 e x s e nx

Enunciado

Então galera, a solução que nos foi dada é essa:

Além de que:

Se derivarmos nossa solução, teremos:

Show! Agora que encontramos vamos aplicar as condições da questão!

a) Aplicando as condições iniciais , teremos:

Aplicando a segunda condição agora:

O que nos dá como solução:

b) Aplicando as condições iniciais , teremos:

Aplicando a segunda condição agora:

Ou seja, não é um resultado possível. Então não temos solução para essa condição.

c) Aplicando as condições iniciais y, teremos:

Aplicando a segunda condição agora:

O que nos dá como solução:

d) Aplicando as condições iniciais , teremos:

Aplicando a segunda condição agora:

E isso nos diz que é arbitrário, ou seja, qualquer valor de serve! O que nos dá como solução:

b) Não há solução.