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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 15

Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L-R no qual a indutância é de 0,5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i ( t ) se i 0 = 0 . Determine a corrente quando t → ∞

Passo 1

Vamos lá matar mais um exercício?

Aqui vamos utilizar a equação 6 dessa seção do seu livro, que fala justamente sobre o circuito em série L-R

Temos:

L d i d t + R . i = E ( t )

No caso, temos L = 0,5   H , E t = 30   V e R = 50   o h m s , vamos substituir:

0,5 d i d t + 50 . i = 30

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d i d t + A t . i = B ( t ) , olha, dividindo tudo por 0.5 :

d i d t + 100 . i = 60     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

i t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A t = 100 e B t = 60 então:

I t = e ∫ 100   d t

I t = e 100 t

Substituindo o que temos na equação ( I I ) :

i t = 1 e 100 t ∫ e 100 t . 60   d t + c

i t = 1 e 100 t 3 5 . e 100 t + c

Então:

i t = 3 5 + c . e - 100 t

Passo 2

O enunciado disse pra gente que i 0 = 0 , então:

i 0 = 0 = 3 5 + c . e - 100 . 0

c + 3 5 = 0

c = - 3 5

Então, a equação da nossa corrente é

i t = 3 5 - 3 5 . e - 100 t

Passo 3

Agora é só calcularmos o limite de i ( t ) quando t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ 3 5 - 3 5 . e - 100 t

Quando t → ∞ , e - 100 t → 0 , então:

lim t → ∞ ⁡ 3 5 - 3 5 . e - 100 t = 3 5 - 3 5 . 0 = 3 5

Resposta

i t = 3 5 - 3 5 . e - 100 t

lim t → ∞ ⁡ 3 5 - 3 5 . e - 100 t = 3 5

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