Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 4
Sabe-se que é uma família a três parâmetros de soluções para no intervalo . Encontre um membro dessa família que satisfaça as condições iniciais.
Passo 1
Então pessoal, para esse tipo de questão sobre família de soluções devemos observar algumas coisas, ok? A primeira delas é que a ordem da nossa equação diferencial dirá quantas constantes arbitrárias nossa solução terá.
A segunda é que devemos derivar a solução geral que nos foi dada para podermos aplicar as condições iniciais dadas para, aí sim, descobrirmos os valores das constantes. Parece complicado, né? Mas prometo que não é, saca só!
A solução que nos foi dada é:
Além disso, sabemos que:
Então vamos encontrar para aplicarmos as condições iniciais, beleza? Show!
Passo 2
Derivando nossa função, teremos:
Derivando novamente, teremos:
As condições iniciais são: . Aplicando a primeira, teremos:
Aplicando a segunda, teremos:
E, por fim, aplicando a terceira:
Então temos o seguinte sisteminha:
Então bora resolve-lo!
Passo 3
Já que sabemos que , isso nos diz que:
Substituindo na nossa solução, teremos que um membro da família será:
E é essa nossa resolução! 😉