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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios de Revisão - Ex. 1

Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas y x 3 + c 1 = 3 .

Passo 1

Então galera, a solução que nos deram foi:

y x 3 + c 1 = 3

y x 3 + y c 1 = 3

Isolando c 1 , teremos:

y c 1 = 3 - y x 3

∴ c 1 = 3 - y x ³ y

Show!

Passo 2

Derivando a nossa função, teremos:

y = 3 x 3 + c 1 - 1

y ' = - 3 x 3 + c 1 - 2 . 3 x 2

Trocando c 1 , teremos:

y ' = - 3 x 3 + 3 - y x 3 y - 2 . 3 x 2

Simplificando:

y ' = - 9 x 2 . y x 3 + 3 - y x 3 y - 2

y ' = - 9 x 2 . y 3 2

y ' = - x 2 y 2

Sendo assim, a equação diferencial da família ortogonal é:

d y d x = 1 x 2 y 2

Agora sim!

Passo 3

Separando as variáveis e integrando, teremos:

y 2 d y = x - 2 d x

∫ y 2 d y = ∫ x - 2 d x

Resolvendo as integrais:

y 3 3 + k 1 = - 1 x + k 2

y 3 3 = - 1 x + k

Multiplicando tudo por 3 :

y 3 = - 3 x + K

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

y 3 = - 3 x + K

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