A população P t de uma grande cidade é descrita pelo problema de valor inicial:

d P d t = P 10 - 1 - 10 - 7 P ,     P 0 = 5000

Em que t é medido em meses. Qual é o valor limite da população? Quando a população será igual à metade desse valor limite?

Passo 1

A equação diferencial do nosso problema é:

d P d t = P 10 - 1 - 10 - 7 P

Que é uma equação logística, conforme estudamos na seção em questão. O bom é que esse tipo de equação já tem uma solução conhecida, que é:

P t = a k b k + e - a t

No nosso caso, temos que a = 10 - 1 e b = 10 - 7 , então:

P t = 10 - 1 k 10 - 7 k + e - 10 - 1 t

Show!

Passo 2

O enunciado nos diz que P 0 = 5000 , então se substituirmos na expressão, teremos:

5000 = 0,1 k 10 - 7 k + 1

5000 10 7 k + 5000 = 0,1 k

0,0005 k - 0,1 k = - 5000

k 0,0005 - 0,1 = - 5000

∴ k = 50250

Substituindo na nossa expressão:

P t = 5025 0,005 + e - 0,1 t

Show!

Passo 3

A questão pergunta qual é o valor limite da população, certo? O valor limite ocorre para t → ∞ , então teremos:

P t = 5025 0,005 + 0

∴ P ≅ 1.000.000

A população será de P = 500.000 quando:

500.000 = 5025 0,005 + e - 0,1 t

0,005 + e - 0,1 t = 5025 500.000 = 0,01

e - 0,1 t = 0,005

Aplicando l n em ambos os lados, teremos:

- 0,1 t = - 5,29

∴ t = 52,88   m e s e s

E está aí nossa resposta, galera! 😉

Resposta

P t = 5025 0,005 + e - 0,1 t

Para t → ∞ , temos: P ≅ 1.000.000

Para P = 500.000 , temos: t = 52,88   m e s e s

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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.x * y'' = y' + (y' ^ 3)