Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 37
O significado da representação decimal de um número (onde o algarismo é um dos números ) é que
Mostre que essa série converge.
Passo 1
Hey, galera! Tudo bem por aí?
Temos um número qualquer, que está representado em forma de série
Para provar a convergência desta série, vamos compará-la. Para achar a comparação correta, vamos pensar o seguinte, é um dos números , então podemos afirmar que sempre, logo
Agora é aplicar o Teste da comparação. Veremos que será uma série geométrica que convergirá, então vamos precisar mostrar que:
- Se for convergente e para todo , então também será convergente.
Em resumo: sabemos que converge, então vamos mostrar que nosso é menor que os termos de , pois assim, pelo Teste da Comparação, também vai convergir.
Vamos em frente, etapa por etapa!
Passo 2
Agora basta provar a convergência de
Essa é uma série geométrica, para ela ter a cara correta de uma geométrica basta manipular
Então temos uma série geométrica com e razão . Como , a série converge e:
Então:
Logo, pelo teste da comparação:
Também converge.
Resposta
Série convergente.