Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 19

Escreva a integral tripla de uma função contínua e arbitrária em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Aqui temos um pedaço de um cilindro, então a descrição mais adequada (fácil kkk) é utilizando as coordenadas cilíndricas. Sendo assim devemos determinar os limites de .

Como podemos ver da figura, tanto em quanto em o sólido vai de até . De forma circular. Então em coordenadas retangulares no plano temos:

A correspondência entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas é:

E temos que em coordenadas cilíndricas: . Então temos:

Mas como queremos apenas a parte do primeiro quadrante:

Passo 2

Agora para . O ângulo contempla apenas o primeiro quadrante, então:

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar . A altura desse cilindro vai do plano , até o plano . Então a coordenada está entre:

Assim a integral de volume fica:

Resposta

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