Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.6 - Ex. 61a
Simplifique:
Passo 1
Então, gente, esse exercício se difere um pouco dos demais que tem um número elevado a um log porque dentro desse log aí tem um . Então, a resposta que a gente vai achar não vai ser um número, igual nas outras vezes, mas sim algo envolvendo o . Não se preocupa que vou te esclarecer durante o seguinte passo-a-passo:
Passo 2) vamos chamar esse troço lindo aí de e vamos passar log dos dois lados
Passo 3) vamos usar as propriedades de log pra ir melhorando a cara da nossa equação
Passo 4) vamos achar quanto vale , que é o que chamamos a nossa expressão, e acabamos!
Passo 2
Como eu disse ali em cima, vamos chamar isso tudo de . Por quê? Simples, porque aí a gente vai ter uma equação e vamos brincar com as propriedades de log nela. Aí, quando a gente achar quanto vale , esse valor vai ser o valor da nossa expressão. Beleza?
Como o nosso log tá lá em cima, vamos dar um jeito de descer com ele pra ficar mais fácil pra gente. Pra isso, vamos passar o log dos dois lados pra gente poder usar uma propriedade específica que a gente vai ver no próximo passo. Mas antes, temos que escolher uma base pra gente usar no log que vamos adicionar ali. Tá vendo que a base do log que tá no expoente é 4? Então vamos usar o 4 mesmo pra facilitar um cadinho nossa vida hehe
Passo 3
Nesse passo, eu vou te mostrar uma propriedade de log que a gente vai usar aí, que é essa daqui:
Ou seja, se tem algum expoente dentro do log, a gente pode descer ele. E é isso que vamos fazer aqui com a nossa equação . Tá vendo que dentro do log tem um expoente (que é outro log kkkk)? Pela propriedade, vamos descer ele assim:
Agora eu vou fazer uma matemágica ali naquele , porque eu quero simplificar ele. Então, vou fazer aparecer alguma coisa com 4 (que é a nossa base) no lugar do 2. E voilá:
Concorda que eu não afetei o valor da equação, já que ?
Agora, vamos usar um negocinho de raízes, que é o seguinte: para todo , show?
E voltando a usar a propriedade que desce expoente…
Vamos lembrar que pra qualquer
Agora a gente vai inverter a propriedade. Ou seja, se a propriedade “desce” o expoente, vamos fazer o sentido contrário e “subir” o pra virar expoente. Assim, ó:
Passo 4
Agora é a hora da verdade: vamos achar !
Olha só, pra um lado ser igual ao outro, o tem que ser igual a , consegue ver? Isso é porque o logaritmo é uma função injetora, que quer dizer que se tem dois logs (de mesma base) iguais, quer dizer que os logaritmandos (o outro número que não é a base) tem que ser iguais!
Então e como , a nossa expressão vale :)