Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.1 - Ex. 35
Nos exercícios de 19 a 40, determine se a função dada tem uma inversa. Se a inversa exisitir, determine-a e faça o seguinte: (a) ache o domínio e a imagem;(b) faça esboço de gráficos da função e de sua inversa, no mesmo conjunto de eixos. Se a função não tiver uma inversa, mostre que uma reta horizontal intercepta o gráfico da função em mais de um ponto.
35.
Passo 1
Primeiramente precisamos saber que uma função só possue inversa se for biunívoca, ou seja, para cada elemento da imagem existe apenas um elemento do domínio. Caso uma imagem tenha duas imagens do domínio diferentes no intervalo, então ela não é biunívoca, portanto não possui inversa.
Passo 2
Para achar a inversa dessa função precisamos deixar a função tendo como variável o . Desse modo fazemos as seguintes analises.
Podemos chamar agora de função de .
Podemos fazer a seguinte igualdade: . Onde se le a inversa de uma função.
Portanto, obtemos aqui a inversa. A função original está restringida a um intervalo, por isso temos que achar o intervalo para sua inversa também. Para fazer isso basta aplicar a função original aos valores do intervalo, de modo que temos:
O intervalo da inversa da função é de
Passo 3
O gráfico dessa função pode ser obtido colocando pontos tanto na inversa quanto na função original:
Resposta
A inversa é:,