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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 27d

Substâncias dissolvidas em um aquífero são transportadas por dois mecanismos separados. O processo pelo qual um soluto é transportado pelo grande movimento do fluxo da água subterrânea é chamado de advecção. Além disso, o soluto é espalhado pelas flutuações em escala pequena na velocidade da água subterrânea ao longo de caminhos tortuosos do fluxo dentro de poros individuais, um processo chamado de dispersão mecânica. A forma unidimensional da equação de advecção-dispersão para uma substância dissolvida não reativa em um meio poroso isotrópico homogêneo saturado sob um fluxo uniforme regular é

em que c(x, t) é a concentração do soluto, υ é a velocidade linear média da água subterrânea, D é o coeficiente da dispersão hidrodinâmica e L é o comprimento do aquífero. Suponha que as condições de contorno são

e que a condição inicial é

em que f(x) é a concentração inicial dada do soluto.

Mostre que

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser reescrever a equação diferencial.

X n x = e v x 2 D sin ⁡ ( μ n x )  

X n ' x = e v x 2 D v 2 D sin ⁡ μ n x + μ n cos ⁡ μ n x

Com isso, teremos o seguinte sistema de equações:

1 T t d T d t = λ D 1 X x d 2 X d x 2 - ( v / D ) X x d X d x   = λ  

T ' - λ D T = 0 X ' ' - v D X ' - λ X = 0  

Lembrando que:

x = L

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

∫ r x X n x 2 d x = ∫ e - v x D e v x 2 D 2 sin ² ⁡ ( μ n x ) d x  

Resolvendo essa integral por partes, temos que:

Resposta

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