Considere o problema

- (x * y')' + (k^2 * y) / x = λxy,

y, y' limitados quando x → 0, y(1) = 0,

onde k é um intervalo positivo.

e) Encontre uma solução formal do problema não homogêneo

- ( x * y' )' + ( k^2 / x ) y = μxy + f( x )

y, y' limitado quando x → 0, y(1) = 0

onde f é uma função contínua dada no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 e mu não é um autovalor do problema homogêneo correspondente.

Passo 1

e) Façamos ϕ x ser a solução do PVC

ϕ x = ∑ n = 0 ∞ b n ϕ n x

onde ϕ n x = L k λ n x .   Então

L ϕ = μ x ϕ + f x

= μ x ϕ + x f x x

Substituindo ϕ x nós obtemos

∑ n = 0 ∞ b n λ n x ϕ n x = μ x ∑ n = 0 ∞ b n ϕ n x + x ∑ n = 0 ∞ c n ϕ n x

No caso, c n são as expansões do coeficiente de f x x para x > 0 . Isso é:

c n = 1 ϕ n x 2 ∫ 0 1 f x x ϕ n ( x ) d x

= 1 J k ( λ n   x 2 ∫ 0 1 f x ϕ n x d x

Isso nos da que se x ≠ 0

∑ n = 0 ∞ c n - b n λ n - μ J k λ n x = 0

Desde que μ ≠ λ n , com independência linear da autofunção, temos que

b n = c n λ n - μ ,   n = 1,2 , … .

Dessa forma, uma solução formal é

ϕ x = ∑ n = 0 ∞ c n λ n - μ J k λ n x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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