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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 53

Suponha que underset(x -> c)(lim) f ( x ) = 5 e underset(x -> c)(lim) g ( x ) = - 2 . Determine

  1. underset(x -> c)(lim) f (x) g (x)
  2. underset(x -> c)(lim) 2 f (x) g ( x )
  3. underset(x -> c)(lim) (f (x) + 3 g (x))
  4. underset(x -> c)(lim) (f (x))/(f (x) - g (x))

Passo 1

Aqui não tem muito jeito, precisa decorar as propriedades mesmo. Mas, elas são muito úteis, então confia em mim que vai ajudar saber de cabeça!

Passo 2

Na letra a vamos usar a propriedade do produto que diz que

underset(x -> c)(lim) f (x) g (x) = underset(x -> c)(lim) f ( x ) * underset(x -> c)(lim) g (x) = (5) * (- 2) = - 10

Passo 3

Na letra b vamos usar a propriedade de multiplicação por uma constante, ou seja

underset(x -> c)(lim) 2 f (x) g ( x ) = 2 underset(x -> c)(lim) f (x) g ( x )

Mas, esse limite acabamos de calcular na letra a , então temos que

underset(x -> c)(lim) 2 f (x) g ( x ) = 2 (- 10) = - 20

Passo 4

Na letra c vamos usar a propriedade da soma e da multiplicação por uma constante. Primeiro a da soma

underset(x -> c)(lim) (f (x) + 3 g (x)) = (underset(x -> c)(lim) f (x)) + (underset(x -> c)(lim) 3 g (x))

Agora vamos usar a propriedade da multiplicação por constante

(underset(x -> c)(lim) f (x)) + (underset(x -> c)(lim) 3 g (x)) = (underset(x -> c)(lim) f (x)) + 3 (underset(x -> c)(lim) g (x)) = 5 + 3 (- 2) = - 1

Passo 5

Na letra d vamos usar duas propriedades: primeiro a do quociente e depois a da subtração.

Vamos de quociente primeiro

underset(x -> c)(lim) (f (x))/(f (x) - g (x)) = (underset(x -> c)(lim) f ( x ))/(underset(x -> c)(lim) (f (x) - g (x)))

Agora vamos usar a da subtração no denominador

(underset(x -> c)(lim) f ( x ))/(underset(x -> c)(lim) (f (x) - g (x))) = (underset(x -> c)(lim) f ( x ))/(underset(x -> c)(lim) f ( x ) - underset(x -> c)(lim) g ( x )) = (5)/(5 - (- 2)) = (5)/(7)

Resposta

  1. - 10
  2. - 20
  3. - 1
  4. (5)/(7)
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Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
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