Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 24

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ - 1 - 1 / 2 t - 2 sin 2 ⁡ 1 + 1 t d t

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = 1 + 1 t

Derivando dos dois lados:

d u = 0 - 1 t 2 d t

- d u = t - 2 d t

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

t = - 1 → u = 1 + 1 - 1 = 0

t = - 1 2 → u = 1 + 1 - 1 2 = - 1

Passo 2

Colocando na integral,

∫ - 1 - 1 / 2 t - 2 sin 2 ⁡ 1 + 1 t d t = ∫ - 1 - 1 / 2 sin 2 ⁡ 1 + 1 t t - 2 d t = - ∫ 0 - 1 sin 2 ⁡ u d u

Lembrando das relações trigonométricas:

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim,

sin 2 ⁡ x = 1 - 1 + cos ⁡ 2 x 2 = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Substituindo,

= - ∫ 0 - 1 sin 2 ⁡ u d u = - ∫ 0 - 1 1 - cos ⁡ 2 u 2 d u = ∫ 0 - 1 cos ⁡ 2 u - 1 2 d u

Passo 3

Separando em dois termos:

∫ 0 - 1 cos ⁡ 2 u - 1 2 d u = 1 2 ∫ 0 - 1 cos ⁡ 2 u d u - 1 2 ∫ 0 - 1 d u

Calculando a integral:

1 2 ∫ 0 - 1 cos ⁡ 2 u d u - 1 2 ∫ 0 - 1 d u = 1 2 sin ⁡ 2 u 2 u ' 0 - 1 - 1 2 u 0 - 1 = 1 2 sin ⁡ 2 u 2 0 - 1 - 1 2 u 0 - 1

1 2 ∫ 0 - 1 cos ⁡ 2 u d u - 1 2 ∫ 0 - 1 d u = 1 2 sin ⁡ - 2 2 - sin ⁡ 2 ∙ 0 2 - 1 2 - 1 - 0

1 2 ∫ 0 - 1 cos ⁡ 2 u d u - 1 2 ∫ 0 - 1 d u = sin ⁡ - 2 4 + 1 2 = 1 2 - sin ⁡ 2 4

Prontinho!!!

Resposta

1 2 - sin ⁡ 2 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Efetua a antidiferenciação. ∫ x 2x 3 - 1 10d x
Efetua a antidiferenciação. ∫ 5 x9 - 4 x 2 2 3d x
Efetua a antidiferenciação. ∫ x 43 x 5 - 5d x
Efetua a antidiferenciação. ∫ xx 2 - 9d x
Efetua a antidiferenciação. ∫ 3 x4 - x 2d x