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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 54

Suponha que underset(x -> 4)(lim) f ( x ) = 0 e underset(x -> 4)(lim) g ( x ) = - 3 . Determine

  1. underset(x -> 4)(lim) (g (x) + 3)
  2. underset(x -> 4)(lim) x f (x)
  3. underset(x -> 4)(lim) (g (x))^2
  4. underset(x -> 4)(lim) (g (x))/(f (x) - 1)

Passo 1

Aqui não tem muito jeito, precisa decorar as propriedades mesmo. Mas, elas são muito úteis, então confia em mim que vai ajudar saber de cabeça!

Passo 2

Na letra a vamos usar a propriedade da soma que diz que

underset(x -> 4)(lim) (g (x) + 3) = underset(x -> 4)(lim) g ( x ) + underset(x -> 4)(lim) 3

Agora vamos usar a propriedade do limite de uma constante

underset(x -> 4)(lim) g ( x ) + underset(x -> 4)(lim) 3 = underset(x -> 4)(lim) g ( x ) + 3 = (- 3) + 3 = 0

Passo 3

Na letra b vamos usar a propriedade do produto! Mas antes você precisa entender quais as funções que estão sendo multiplicadas. Aqui ele está multiplicando a função h (x) = x e a função f ( x ) , então vamos ter que

underset(x -> 4)(lim) x f ( x ) = underset(x -> 4)(lim) h (x) f ( x ) = (underset(x -> 4)(lim) h (x)) (underset(x -> 4)(lim) f (x)) = (underset(x -> 4)(lim) x) (underset(x -> 4)(lim) f (x))

Agora usando a propriedade do polinômio, temos que

underset(x -> 4)(lim) x f ( x ) = (4) (0) = 0

Passo 4

Na letra c vamos usar a propriedade da potência que diz

underset(x -> 4)(lim) (g (x))^2 = (underset(x -> 4)(lim) g (x))^2 = (- 3)^2 = 9

Passo 5

Na letra d vamos usar duas propriedades: primeiro a do quociente e depois a da subtração.

Vamos de quociente primeiro

underset(x -> 4)(lim) (g (x))/(f (x) - 1) = (underset(x -> 4)(lim) g ( x ))/(underset(x -> 4)(lim) (f (x) - 1))

Agora vamos usar a da subtração no denominador

(underset(x -> 4)(lim) g ( x ))/(underset(x -> 4)(lim) (f (x) - 1)) = (underset(x -> 4)(lim) g ( x ))/(underset(x -> 4)(lim) f ( x ) - underset(x -> 4)(lim) 1) = (- 3)/(0 - (1)) = 3

Resposta

  1. 0
  2. 0
  3. 9
  4. 3
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Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
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