Calcule a integral ∫ x . s e c 2 x   d x usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   x  

    Pois é o valor mais simples de derivar    

d u   =   ( x ) ’ .   d x        

d u   =   d x        

    d v   =   s e c 2 x   d x

  v = ∫ s e c 2 x   d x

    v   =   t g   x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x . s e c 2 x   d x = x . t g   x -   ∫ t g   x   d x

Para poder resolver ∫ t g   x   d x utilizamos o método da substituição:

∫ t g   x   d x = ∫ s e n   x cos ⁡ x d x

w   =   c o s   x                                                            

d w   =   ( c o s   x ) ’

d w   =   - s e n   x   d x

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que - 1 - 1 é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

- 1 - 1   ∫ s e n   x cos ⁡ x d x

= - ∫ - s e n   x cos ⁡ x d x

substituituimos w   =   c o s   x e d w   =   - s e n   x   d x

= - ∫ 1 w d w

= -   l n w

Por fim retornamos para o valor original

= -   l n cos ⁡ x  

E agora é só colocar esse resultado no lugar de ∫ t g   x   d x

∫ x . s e c 2 x   d x = x . t g   x -   ∫ t g   x   d x

= x . t g   x -   -   l n cos ⁡ x  

= x . t g   x + l n cos ⁡ x   + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x . s e c 2 x   d x = x . t g   x + l n cos ⁡ x   + c

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