Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

37-

y = s * raiz(1 - s^2) + cos^(-1)(s)

Passo 1

Fazendo a derivada em relação a s d d s da equação acima nós temos:

d y d s = s ' 1 - s 2 + s 1 - s 2 ' + d d s ( cos - 1 ⁡ s )

Passo 2

Fazendo primeiro a regra do produto nós teremos:

1 - s 2 + s ×   - 2 s 2 1 - s 2 = 1 - s 2 - s 2 1 - s 2

Agora fazendo a derivada do arco cosseno nós teremos:

z = cos - 1 ⁡ s

Onde z é somente uma variável intermediária.

cos ⁡ z = s

Fazendo a derivada em relação a s :

- sin ⁡ z × d z d s = 1

d z d s = - 1 sin ⁡ z

Da regra fundamental temos:

sin ⁡ z = 1 - cos 2 ⁡ z

Como cos 2 ⁡ z = s 2

d d s ( cos - 1 ⁡ z ) = 1 1 - s 2

Passo 3

Juntando os termos temos:

d y d s = 1 - s 2 - s 2 1 - s 2 +   1 1 - s 2  

Fazendo MMC no termo que está entre parênteses:

d y d s = 1 - s 2 - s 2 1 - s 2 + 1 1 - s 2

d y d s = - 2 s 2 1 - s 2

Resposta

d y d s = - 2 s 2 1 - s 2

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