Suponha que f ( x ) e g ( x ) sejam polinômios em x e que lim x → ∞ ⁡ f x g x = 2 . O que se pode concluir sobre o lim x → - ∞ ⁡ f x g x ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O primeiro passo é perceber que estamos lidando com uma divisão de polinômios e que lim x → ∞ ⁡ f x g x = 2 ,     ou seja, o limite dá um número diferente de zero. Como sabemos o limite é quando x → ∞ e esse limite dá um número, então isso significa que tanto o polinômio de cima quanto o de baixo tem o mesmo grau.

Passo 2

O segundo passo é perceber que mesmo que f ( x ) e g ( x ) sejam diferentes, eles ainda sim tem o mesmo grau o que nos dá muita informação ,pois quando formos realizar o truque de dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau vamos obter um número que está relacionado ao coeficiente de maior grau desses polinômios e que não depende do valor de x .

Caso não tenha entendido, vamos ver um exemplo para ver se as ideias clareiam. Vamos considerar que f x = 3 x 2 + 5 x + 7 e g x = x 2 + 8 x , ou seja, eles têm o mesmo grau. Então,

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 5 x + 7 x 2 - 8 x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 x 2 + 5 x x 2 + 7 x 2 x 2 x 2 - 8 x x 2 =     lim x → ∞ ⁡ 3 + 5 x + 7 x 2 1   - 8 x

=   l i m x → ± ∞ 3 + 5 x + 7 x 2 l i m x → ∞ 1 - 8 x =   l i m x → ∞ 3 +   l i m x → ∞ 5 x +   l i m x → ∞ 7 x 2 l i m x → ∞ 1 - l i m x → ∞ 8 x = 3 +   0 + 0 1 - 0 = 3 1 = 3 .

Perceberam que quando dividimos cada polinômio pelo termo de maior grau, o resultado deu 3, que estava relacionado com esse termo, ou seja, obtemos um número diferente de zero e que não depende do valor de x ?

Então, isso significa mesmo que se x fosse negativo, ainda sim esse limite ainda seria 3.

Resposta

Para o caso do lim x → ∞ ⁡ f x g x = 2 ,   saberemos que lim x → - ∞ ⁡ f x g x = 2 , pois 2 está relacionado com o termo de maior grau de ambos os polinômios e independentemente de x ser positivo ou negativo esse limite sempre dará 2.

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