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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 80

Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que as segundas derivadas nunca sejam nulas.

  1. Se f e g forem côncavas para cima em I , mostre que f + g é côncava para cima em I .
  2. Se f for positiva e côncava para cima em I , mostre que a função g x = f ( x ) 2 é côncava para cima em I .

Passo 1

  1. Vamos usar o Teste da Concavidade, se f é côncavo para cima em I , então f ' ' > 0 em I . Se f e g são côncavas para cima em I , então f ' ' > 0 e g ' ' > 0 em I , assim, f + g ' ' = f ' ' + g ' ' > 0 em I o que implica que f + g é côncava para cima em I .

    2. Passo 2

  2. Como f é positiva e côncava para cima em I , f > 0 e f ' ' > 0 em I , então g x = f ( x ) 2 vamos calcular a segunda derivada:

g ' x = f x 2 ' = 2 f x f ' ( x )

g ' ' ( x ) = 2 f x f ' x ' = 2 f ' x f ' x + 2 f x f ' ' x = 2 f ' ( x ) 2 + 2 f x f ' ' x > 0

O que implica que g é côncava para cima em I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.n) f x = xe 1 x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.h) f x = 1 - e - x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.l) g x = x 2 - x 3 3
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.c) f x = xe - 2 x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.e) g x = e - x - e - 2 x