Um tanque contém 100 galões de água doce. Uma solução que contém 1 l b / g a l de fertilizante solúvel escoa para um tanque a uma taxa de 1g a l / m i n , e a mistura é bombeada para fora do tanque a uma taxa de 3g a l / m i n . Determine a quantidade máxima de fertilizantes no tanque e o tempo necessário para que ele atinja a capacidade máxima.

Enunciado

Vamos fazer o mesmo esquema da questão anterior.

Seja a quantidade de fertilizante no tanque no instante .

A taxa em libra por minuto em que o fertilizante entra no tanque é:

E o volume no tanque no instante é dado por:

Nossa variação de fertilizante durante o tempo então é:

(O que entra menos o que sai)

Agora a gente vai resolver essa equação diferencial...

A gente fica com e

Integramos ...

Fazemos:

Então...

Como , substituímos para encontrar ...

Substituímos o valor encontrado agora em :

Para achar o tempo para a capacidade máxima, fazemos (máximo de função) então...

Que é o tempo necessário para que o tanque fique com a capacidade máxima.

E a quantidade máxima é dada pela quantidade de fertilizante nesse tempo em que o tanque chega a sua capacidade máxima, então:

e .