Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 15
Um tanque contém 100 galões de água doce. Uma solução que contém 1 de fertilizante solúvel escoa para um tanque a uma taxa de , e a mistura é bombeada para fora do tanque a uma taxa de . Determine a quantidade máxima de fertilizantes no tanque e o tempo necessário para que ele atinja a capacidade máxima.
Passo 1
Vamos fazer o mesmo esquema da questão anterior.
Seja a quantidade de fertilizante no tanque no instante .
A taxa em libra por minuto em que o fertilizante entra no tanque é:
E o volume no tanque no instante é dado por:
Nossa variação de fertilizante durante o tempo então é:
(O que entra menos o que sai)
Agora a gente vai resolver essa equação diferencial...
Passo 2
A gente fica com e
Integramos ...
Fazemos:
Então...
Como , substituímos para encontrar ...
Substituímos o valor encontrado agora em :
Passo 3
Para achar o tempo para a capacidade máxima, fazemos (máximo de função) então...
Que é o tempo necessário para que o tanque fique com a capacidade máxima.
Passo 4
E a quantidade máxima é dada pela quantidade de fertilizante nesse tempo em que o tanque chega a sua capacidade máxima, então:
Resposta
e .