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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 13

Um tanque contém inicialmente 100 galões de solução salina em que são dissolvidos 50 l b de sal. Uma solução salina que contém 2 l b / g a l de sal é inserida em um tanque a uma taxa de 5 g a l / m i n . A mistura é mantida uniforme por meio de agitação e flui para fora do tanque à taxa de 4 g a l / m i n .

  1. A que taxa (libras por minuto) o sal entra no tanque no instante t?
  2. Qual é o volume da solução salina no tanque no instante t?
  3. A que taxa (libras por minuto) o sal sai do tanque no instante t?
  4. Anote e resolva o problema de valor inicial descrevendo o processo de mistura.
  5. Calcule a concentração de sal no tanque 25 minutos após o início do processo.

Passo 1

Seja y ( t ) = a quantidade de sal no tanque em l b e V ( t ) = o volume líquido total no tanque no tempo t .

  1. Para achar a taxa em libras por minuto, usando as informações do enunciado, temos:

    2. 2   l b g a l ∙ 5   g a l m i n

    O que nos dá a taxa de 10   l b / m i n .

    Passo 2

  2. O volume no instante t é dado pelo volume inicial ( 100   g a l ) somado com a variação do que entra ( 5   g a l / m i n ) menos o que sai ( 4   g a l / m i n ) . Assim:

    3. V t = 100   g a l + 5 t   g a l - 4 t   g a l

    V t = 100   g a l + t g a l

    V t = 100 + t g a l

    Passo 3

  3. A concentração y de sal no tempo t será y 100 + t l b s / g a l . Como a taxa da mistura que flui para fora do tanque é 4   l b / m i n , a taxa que o sal sai para fora do tanque é:

    4. y 100 + t l b s / g a l   ∙ 4   l b / m i n

    4 y 100 + t   l b s / m i n

    Passo 4

  4. Juntando os valores achados nos itens anteriores, temos que:

    5. d y d t = 10 - 4 y 100 + t

    Resolvendo então, ficamos com:

    d y d t + 4 100 + t y = 10

    E temos que ∫ 4 100 + t d t = 4 ln ⁡ ( 100 + t )

    v t = e 4 ln ⁡ 100 + t = 100 + t 4

    Observe que y = 1 100 + t 4 ∫ 100 + t 4 ( 10   d t )

    Então,

    y = 10 100 + t 4 100 + t 5 5 + C

    y = 2 100 + t + C 100 + t 4

    Sabendo que no instante zero, são dissolvidos   50   l b   de sal, temos:

    y 0 = 50  

    y 0 = 2 100 + C 100 4 = 50

    C =   - 150 100 4

    Substituindo agora o valor da constante:

    y = 2 100 + t -   150 100 4 100 + t 4

    Dividindo o numerador e o denominador da fração por 100 4 :

    y = 2 100 + t - 150 1 + t 100 4

    E pronto.

    Passo 5

  5. Substituindo t = 25 na fórmula do item anterior, encontramos:

y 25 = 2 100 + 25 - 150 1 + 25 100

O que, resolvendo dá...

y 25 ≅ 188,56   l b s

A concentração é dada por:

y 25 V ( 25 ) = 188,56 125 ≅ 1,5   l b / g a l

Resposta

  1. 10   l b / m i n
  2. V t = 100 + t g a l
  3. 4 y 100 + t   l b s / m i n
  4. y = 2 100 + t - 150 1 + t 100 4
  5. 1,5   l b / g a l
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