O tempo entre infecção e aparecimento dos sintomas para dor de gargante estreptocócica é uma variável aleatória cuja função de densidade de probabilidade pode ser aproximada por f(t) = 1 / 15,676 * t^2 * e^(-0,05t) se 0 ≤ t ≤ 150 e f(t) = 0 , caso contrário.

  1. Qual é a probabilidade de um paciente infectado apresentar sintomas nas primeiras 48 horas?
  2. Qual é a probabilidade de um paciente infectado não apresentar os sintomas até 36 horas?.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte função e condição para o nosso problema:

f t = 1 15,676 t 2 e - 0,05 t

Se:

0 ≤ t ≤ 150

Aplicando a função f à condição de densidade de probabilidade, temos:

∫ - ∞ ∞ f t d t

Como a função só é respeitada em um intervalo, podemos separá-la:

∫ - ∞ ∞ f t d t = ∫ - ∞ 0 f t d t + ∫ 0 150 f t d t + ∫ 150 ∞ f t d t

Substituindo, temos:

∫ - ∞ ∞ f t d t = ∫ - ∞ 0 0 d t + ∫ 0 150 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t + ∫ 150 ∞ 0 d t

Portanto:

∫ - ∞ ∞ f t d t = ∫ 0 150 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t

Resolvendo, temos que:

∫ 0 150 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t = 1 15676 15675,9 = 1

A função f fica então verificada como sendo uma função de densidade de probabilidade.

Passo 2

A probabilidade de de o paciente apresentar os sintomas nas primeiras 48 horas é de:

P 0 ≤ T < 48 = ∫ 0 48 f t d t

= ∫ 0 48 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t

Resolvendo, temos que:

P 0 ≤ T < 48 = 0,439185

Ou seja, a probabilidade de um paciente infectado apresentar os sintomas nas primeiras 48 horas é de 4 3 , 92 % .

Passo 3

Item b:

Agora vamos avaliar a probabilidade de o paciente infectado não apresentar os sintomas até as 36 primeiras horas de infecção. Vamos encontrar a probabilidade de ele apresentar os sintomas e subtrair de 1 pois é um cálculo mais fácil:

P 0 ≤ T < 36 = ∫ 0 36 f t d t

= ∫ 0 36 1 15,676 t 2 e - 0,05 t d t

Resolvendo, temos que:

P 0 ≤ T < 36 = 0 , 274947

Esta é a probabilidade de ele apresentar os sintomas, então a probabilidade de não apresentar é de:

1 - 0,274947 = 0,725053

Ou seja, a probabilidade do paciente infectado não apresentar os sintomas é de 72,5 % .

Resposta

a )   43,92 %

b ) 72,5 %

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