Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.4 - Ex. 10
Uma companhia de máquinas fotográficas estima que a função da demanda para a nova câmera digital é e a função da oferta é estimada para , onde é a medida em milhares. Calcule o excedente total máximo.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o excedente total máximo, sabendo que a função da demanda é dada por e a função da oferta é estimada para , onde é a medida em milhares.
Esse excedente total ocorre quanto a quantidade demandada é igual a quantidade oferecida, então vamos igualar as funções e resolver para encontrar o valor de . Depois, vamos substituir na função de demanda ou na função de oferta para encontrar o preço nesse ponto. E calcular o excedente usando a fórmula:
Que representa a área entre as curvas de oferta e demanda no intervalo dado.
Vamos lá!
Passo 2
Lembre-se que a quantidade demandada deve ser correspondente a quantidade produzida, para o mercado estar em equilíbrio. Então, vamos igualar as funções:
Aplicando o , temos:
Aplicando o fator de milhar, temos que:
Portanto, o número de quantidade para a nova câmera digital é .
Passo 3
Agora vamos encontrar o excedente do consumidor e do produtor para que o mercado esteja em equilíbrio. Como o número de mercadorias vendidas em equilíbrio é , o preço ao consumidor correspondente é:
Então o excedente do consumidor é:
Substituindo as nossas funções:
Integrando em relação a , temos:
E aplicando os limites de integração:
Portanto, o excedente do consumidor é .
Passo 4
Como o número de mercadorias produzidas em equilibrio é , o preço correspondente ao produtor é:
Então, o excedente do produtor será:
Integrando, temos:
Aplicando os limites de integração:
Portanto, o excedente do produtor é .
Passo 5
O excedente total máximo será a soma dos dois resultados obtidos, ou seja:
Multiplicando pelo fator de milhares, temos que:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉