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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.5 - Ex. 11

Um varejista on-line determinou que o tempo médio para transações com cartão de crédito a serem aprovadas eletronicamente é de 1,6 segundos.

  1. Use uma função de densidade exponencial para encontrar a probabilidade que um cliente espere menos de um segundo para que o cartão de crédito seja aprovado.
  2. Encontre a probabilidade que um cliente espere mais que 3 segundos.
  3. Qual é o tempo mínimo de aprovação para a 5 % transações mais lentas?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O tempo médio para as transações com cartão de crédito serem aprovadas é de cerca de 1,6 segundo.

A média da distribuição exponencial é μ = 1,6 .

Portanto, a função densidade de probabilidade é:

f t = 0     s e   t < 0 1 μ e t μ     s e   t ≥ 0

Aplicando ao problema, temos:

f t = 0     s e   t < 0 1 1,6 e t 1,6     s e   t ≥ 0

Passo 2

A probabilidade de a transação levar menos de um segundo é:

P 0 ≤ T < 1 = ∫ 0 1 f t d t

= ∫ 0 1 1 1,6 e t 1,6 d t

Resolvendo, temos que:

P 0 ≤ T < 1 = 1 1,6 e t 1,6 - 1 1,6 0 1

P 0 ≤ T < 1 = 1 - e - 1 1,6

P 0 ≤ T < 1 = 0,465

Ou seja, a probabilidade de um cliente esperar menos de um segundo é de 46,5 % .

Passo 3

Item b:

Agora vamos avaliar a probabilidade de a transação demorar mais de 3 segundos:

P T > 3 = ∫ 3 ∞ f t d t

P T > 3 = ∫ 3 ∞ 1 1,6 e t 1,6 d t

Podemos aplicar um limite para nos ajudar a resolver... Observe:

P T > 3 = lim x → ∞ ⁡ ∫ 3 x 1 1,6 e t 1,6 d t

Resolvendo, temos que:

P T > 3 = lim x → ∞ ⁡ 1 1,6 e t 1,6 - 1 1,6 3 x

= lim x → ∞ ⁡ e - 3 1,6 - e - x 1,6

Como lim x → ∞ ⁡ e - x = 0 , temos que:

P T > 3 = e - 3 1,6

P T > 3 = 0,153

Ou seja, a probabilidade de um cliente esperar mais de 3 segundos é de 15,3 % .

Passo 4

Item c:

O tempo mínimo de aprovação para os 5 % mais lentos processos de transação é dado por:

P = ∫ f t d t

Aplicando ao problema, temos que:

- 0,05 = ∫ 1 1,6 e t 1,6 d t

Resolvendo, temos que:

- 0,05 = 1 1,6 e t 1,6 - 1 1,6

0,05 = e - t 1,6

ln ⁡ ( 0,05 ) = ln ⁡ e - t 1,6

Logo:

t = 4,8

Portanto, o tempo mínimo de aprovação é de 4,8 segundos

Resposta

a )   46,5 %

b ) 15,3 %

c ) t = 4,8   s e g u n d o s .

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